WikiDer > Kostenloses Modul

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein kostenloses Modul ein freies Objekt in dem Kategorie von Module. Ein freies Modul ist ein Modul mit a Base . Somit ist ein freies Modul eine Verallgemeinerung der Konzepte freie abelsche Gruppe und Vektorraum. Als die Sammlungso ist die Basis, es wird als kostenloses Modul bezeichnet so.

Ein freier Vektorraum über a Sammlung ist ein Sonderfall eines freien Moduls über einer Menge.

Definition

EIN kostenloses Modul ist ein Modul mit einer Basis, a linear unabhängiglaichende Sammlung.Eine Familie ${displaystyle (e_{i}mid iin I)}$ von Elementen von a R-Modul ${Anzeigestil M}$ heiß linear unabhängig oder kostenlos, falls für eine endliche Menge von Indizes ${displaystyle Jsubseteq I}$gilt:

${displaystyle 0=sum _{iin J}r_{i}cdot e_{i},Longrightarrow ,forall iin Jcolon r_{i}=0.}$

Wenn die Familie ${displaystyle {e_{i}mid iin I}}$ auch das modul ${Anzeigestil M}$produziert, heiß ${displaystyle (e_{i}mid iin I)}$ ein Base und das Modul heißt kostenlos.

Jedes Element ${Anzeigestil minus M}$ ist ein endliches Unikat lineare Kombination von Elementen von ${displaystyle {e_{i}mid iin I}}$ mit Koeffizienten im R:

${displaystyle m=r_{1}e_{1} r_{2}e_{2} ldots r_{n}e_{n}}$.

wenn R ein invariante Basiszahl dann haben per Definition alle zwei Basen das gleiche Kardinalität. Die Kardinalität jeder (und damit aller) Basis wird zur Rang des kostenlosen Moduls ich genannt, und wenn die Kardinalität endlich ist, sie sagen das ichfrei von Rang n oder nur frei von endlichem Rang ist.

Die Definition einer unendlichen freien Basis ist ähnlich, außer dass E hat jetzt unendlich viele Elemente. Die Summe muss jedoch immer noch endlich sein, und zwar für alle X nur ein finites Element von E besorgt.

Im Fall einer unendlichen Basis ist der Rang von ich ist der Kardinalität von E

Siehe auch

• freies Objekt

Verweise

• Iain T. Adamson, Elementare Ringe und Module. Oliver und Boyd (1972), 65–66. ISBN 0-05-002192-3 .