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Wallis-product

In dem Mathematik ist der Walliser Produkt, das 1655 von gebaut wurde John Wallis, eine Darstellung der Zahl ${Anzeigestil pi /2}$ in Form einer Unendlichkeit Produkt:

{displaystyle prod _{n=1}^{infty }{frac {2n}{2n-1}}cdot {frac {2n}{2n 1}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2 }{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8 }{7}}cdot {frac {8}{9}}ldots ={frac {pi}{2}}}

Umleitung

Wallis leitete sein Produkt so ab, wie es heute in der Analyse erfolgt, nämlich durch den Wert von ${displaystyle extstyle int _{0}^{pi }sin ^{n}(x),mathrm {d} x}$ gerade und ungerade vergleichen compare ${displaystyle n}$ , und man beachte, dass der Wert des Integrals insgesamt ${displaystyle n}$ aber kleine Änderungen, wenn ${displaystyle n}$ wird um 1 erhöht. Seit der infinitesimalrechnung wie wir es heute kennen, als es noch nicht existierte und die Einsichten der mathematischen Analysis fehlten, um von Konvergenz sprechen zu können, war dieses Ergebnis für Wallis viel schwieriger zu beweisen; er war sich auch nicht ganz sicher. Rückblickend scheint das Wallis-Produkt eine einfache Konsequenz der später entdeckten Produktformel für die Sinusfunktion.

Beweisen Sie mit der unendlichen Produktformel von Euler für die Sinusfunktion^[1]

Die Produktformel für den Sinus lautet:

{displaystyle {frac {sin x}{x}}=prod_{n=1}^{infty}left(1-{frac {x^{2}}{n^{2}pi ^{2}}} ight)}

Mit ${displaystyle x={ frac {1}{2}}pi }$ dann folgt:

{displaystyle {frac {2}{pi }}=prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {1}{4n^{2}}}ight)}

,

So

{displaystyle { egin{aligned}{frac {pi}{2}}&=prod _{n=1}^{infty}left({frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}} ight)/&{}=prod_{n=1}^{infty }{frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n 1)}}={frac {2}{1}} cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}} cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}ldots end{ausgerichtet}}}

Beweis mit einem Integral^[2]

Definieren

{displaystyle I(n)=int _{0}^{pi}sin ^{n}(x)dx.}

In acht nehmen ${displaystyle ngeq 2}$ Teilintegration so dass

{displaystyle { egin{aligned}I(n)&=&int _{0}^{pi }sin ^{n-1}(x),mathrm {d} (-cos(x))/&=&left.- cos(x)sin ^{n-1}(x)ight|_{x=0}^{pi } int _{0}^{pi }cos(x),mathrm {d} (sin ^{n- 1}x)/&=&0 (n-1)int _{0}^{pi }sin ^{n-2}(x)cos ^{2}(x),mathrm {d} x/&=& (n-1)int _{0}^{pi}sin ^{n-2}(x)(1-sin ^{2}(x)),mathrm {d} x/&=&(n-1 )int _{0}^{pi }sin ^{n-2}(x),mathrm {d} x-(n-1)int _{0}^{pi}sin ^{n}(x), mathrm {d} x/&=&(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n),end{ausgerichtet}}}

entweder

{displaystyle I(n)={frac {n-1}{n}}cdot I(n-2)}

Wiederholte Anwendung davon für ${Anzeigestil n=2k}$ liefert

{displaystyle I(2k)={frac {2k-1}{2k}}cdot {frac {2k-3}{2k-2}}cdot ldots cdot {frac {3}{4}}cdot {frac {1} {2}}cdot I(0)}

und für ${Anzeigestil n=2k 1}$ folgt

{displaystyle I(2k 1)={frac {2k}{2k 1}}cdot {frac {2k-2}{2k-1}}cdot ldots cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {2} {3}}cdot I(1)}

Zusammen ergeben diese beiden Gleichungen

{displaystyle {frac {I(2k 1)}{I(2k)}}cdot {frac {I(0)}{I(1)}}={frac {2k}{2k 1}}cdot {frac {2k }{2k-1}}cdot ldots cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {2}{1}}}

Es gibt

{displaystyle I(0)=int _{0}^{pi},mathrm {d} x=pi }

und

{displaystyle I(1)=int _{0}^{pi}sin(x),mathrm {d} x=-cos(x){Groß |}_{x=0}^{pi }=2}

weil ${Anzeigestil I(n)}$ ist eine absteigende Zeile, gilt

{displaystyle {frac {2k}{2k 1}}={frac {I(2k 1)}{I(2k-1)}}leq {frac {I(2k 1)}{I(2k)}}leq { frac {I(2k 1)}{I(2k 1)}}=1}

wenn ${displaystyle k o infty }$ die linke Seite geht auf 1, also folgt wegen des Inklusionssatzes

{displaystyle lim _{k o infty }{frac {I(2k 1)}{I(2k)}}=1}

Somit kann die obige Formel umgeschrieben werden zu

{displaystyle {frac {pi}{2}}=lim _{ko infty }{frac {I(2k 1)}{I(2k)}}{frac {I(0)}{I(1)}}= {frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot ldots }

Beziehung zur Stirling-Formel

Das Stirlingsche Formel vor dem ${displaystyle n!}$ sagt, dass

{displaystyle n!={sqrt {2pi n}}{left({frac {n}{e}}ight)}^{n}left(1 Oleft({frac {1}{n}}ight)ight)}

wenn ${displaystyle n o infty }$ . Betrachten Sie nun die endlichen Näherungen des Wallis-Produkts, nur durch die erste ${displaystyle k}$ Faktoren zu nehmen:

{displaystyle p_{k}=prod_{n=1}^{k}{frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n 1)}}}

So kann ${displaystyle p_{k}}$ geschrieben werden als

{displaystyle p_{k}={1 über {2k 1}}prod _{n=1}^{k}{frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{ 2}}}={1 über {2k 1}}cdot {{2^{4k},(k!)^{4}} über {[(2k)!]^{2}}}}

Durch Substitution der Stirling-Formel in diesem Ausdruck (für beide ${displaystyle k!}$ wenn ${Anzeigestil (2k)!}$ ) stellt sich (nach kurzer Rechnung) heraus, dass ${displaystyle p_{k}}$ zu ${Anzeigestil pi /2}$ konvergiert als ${displaystyle k o infty }$ .