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In dem Mathematik ist ein unendlich klein ein Objekt, das mehr oder weniger als Zahl funktioniert und das in der Reihenfolge der reellen Zahlen kleiner als jede positive ist reelle Zahl, aber immer noch größer als Null. Infinitesimals wurden ursprünglich erfunden, bevor die Menschen ein gutes Verständnis von Grenzen hatten. Sie funktionieren tatsächlich als Größen mit einer Grenze von 0, die für Berechnungen verwendet werden, als ob sie gerade noch nicht gleich 0 wären. Wenn die richtigen Rechenregeln verwendet werden, entsteht eine gut anwendbare Theorie.

In dem löschen- und Physik Argumentation mit infinitesimalen wird oft gehalten.

Infinitesimals wurden verwendet, um ein erstes nützliches Differential- und Integralrechnung entwickeln. Deshalb werden diese Bereiche noch mit behandelt infinitesimalrechnung angegeben.

Geschichte

Schon in der Antike verwendet Archimedes Objekte wie Infinitesimals für bestimmte Berechnungen, aber er glaubte nicht, dass sie in Wirklichkeit existierten.

Wir finden eine systematische Verwendung von Infinitesimalen bei Newton und Leibniz bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung ist der Strom Differential- und Integralrechnung. Beiträge fortgesetzt Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, die Familie Bernoullic und viele andere.

Eine typische Argumentation, die auch heute noch verwendet wird, lautet: wenn die Variable ${Anzeigestil x}$ ändert sich mit dem infinitesimalen ${displaystyle {m {d}}x}$, die Funktion ändert sich ${Anzeigestil y}$ mit dem unendlich kleinen ${displaystyle {m {d}}y}$. Denn beides ${displaystyle {m {d}}x}$ wenn ${displaystyle {m {d}}y}$ als Veränderung, d.h. als Differenz zwischen End- und Anfangswert, heißen sie men Differentiale. Das Verhältnis dieser Differenzen, das Differentialquotient, ist die Steigung der Tangente, die Derivat von ${Anzeigestil y}$ zu ${Anzeigestil x}$.

Paar ${Anzeigestil y=f(x)=x^{2}}$, dann ist

${Anzeigestil {m {d}}y=f(x {m {d}}x)-f(x)=(x {m {d}}x)^{2}-x^{2}=2x{ m {d}}x ({m {d}}x)^{2}}$

Der Differentialquotient ist also:

${displaystyle {frac {{m {d}}y}{{m {d}}x}}={frac {2x{m {d}}x ({m {d}}x)^{2}}{ {m {d}}x}}=2x {m {d}}x=2x}$,

weil ${displaystyle {m {d}}x}$ ist infinitesimal (klein).

Die Argumentation ist somit analog zu dem, was die moderne Mathematik tut ${displaystyle {m {d}}x}$ endlich zu vermuten und die Grenze zu nehmen für ${displaystyle {m {d}}x}$ auf 0.

${displaystyle {frac {{m {d}}y}{{m {d}}x}}=lim _{{m {d}}xdownarrow 0}{frac {2x{m {d}}x ({m {d}}x)^{2}}{{m {d}}x}}=lim _{{m {d}}xdownarrow 0}(2x {m {d}}x)=2x}$

Im 1734 kritisiert George Berkeley mit infinitesimalen arbeiten^[1]. Am Ende seines Buches nennt er die Infinitesimals "die Geister der verstorbenen Quantities".

Trotz seiner inhärenten Widersprüche dominierte der Standpunkt von Leibniz bis Mitte des 19. ${Anzeigestil Varepsilon }$-${Anzeigestil-Delta}$-Methode von Karl Weierstraße. Erst 1958 haben C. Schmieden und Detlef Laugwitz ein ausgeklügeltes Zahlensystem, das auf der Konstruktion der reellen Zahlen nach . basierte George Cantor. Zwei Jahre später beschrieben Abraham Robinson die hyperrealen Zahlen als Teil der sogenannten Nicht-Standard-Analyse.^[2]

Anwendung

Die Arbeit mit infinitesimalen Zahlen macht es manchmal leicht, bestimmte Beziehungen zu "verstehen". So geht's Kettenregel in Differentialform:

${displaystyle {frac {{m {d}}y}{{m {d}}x}}={frac {{m {d}}y}{{m {d}}z}}{frac {{m {d}}z}{{m {d}}x}}}$.

Algebraische Infinitesimalzahlen

Unter den reellen Zahlen gibt es keine Infinitesimalen. Um Infinitesimals eine theoretische Grundlage zu geben, einerseits Abraham Robinson und Edward Nelson das Nicht-Standard-Analyse (NSA), bei der eine abgeschwächte Form von Infinitesimals auftritt, und andererseits von Coste, Roy und Pollack ua eine Erweiterung der reellen Zahlen entwickelt, in der Platz für sogenannte algebraische Infinitesimals ist. Die bekanntesten davon sind die hyperreale Zahlen und der surreale Zahlen.