WikiDer > Wicklungsnummer

Diese Kurve hat Windung Nummer zwei um den Punkt p.

Es Wicklungszahl oder der Index von a Kurve ist ein Konzept aus dem Geometrie. Die Zahl gibt an, wie oft sich eine geschlossene planare Kurve um einen bestimmten Punkt dreht. Normalerweise wird der Ursprung eines Rechtecks ​​als Bezugspunkt gewählt Koordinatensystem.

Definitionen

Sie ${displaystyle f=(f_{x},f_{y})}$ eine geschlossene glatte Kurve in der xy-Ebene, die den Ursprung vermeidet, d.h.

• ${displaystyle f:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}}$ ist differenzierbar,
• ${Anzeigestil f(0)=f(1)}$
• ${Displaystil für alle Zinn [0,1]:f(t)eq (0,0)}$

Dann ist die Wicklungszahl ${Anzeigestil W(f)}$ von ${displaystyle f}$ definiert als die Integral- des orientierten"Winkelgeschwindigkeit" von ${displaystyle f}$ für den Ursprung. Der Winkel wird in Umdrehungen statt in expressed ausgedrückt Bogenmaß, das muss noch geteilt werden durch ${Displaystil 2pi }$:

${displaystyle W(f)={1 over 2pi }int limits _{0}^{1}{f_{x}(t)f'_{y}(t)-f_{y}(t)f_{x }'(t) über f_{x}^{2}(t) f_{y}^{2}(t)}{m {d}}t}$.

Der Zähler des Bruchs ist die Größe des externes Produkt von ${displaystyle f}$ und seine Ableitung.

Die obige Formel wird in der eleganter komplexe Ebene, weil dann die Definition des Quotienten komplexer Zahlen verwendet werden kann (siehe auch komplexes Linienintegral):

${displaystyle W(f)={1 über 2pi i}oint _{f}{{m {d}}z über z}}$

Jeder Wert der Windungszahl entspricht einem Element der grundlegende Gruppe${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)})}$, wenn vereinbart wird, dass die Einheit dieser Gruppe die Klasse der Kurven mit dem Einmal in . ist gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen Einheitskreis. Diese abstrakte Definition gilt auch für Funktionen ${displaystyle f}$ Das kontinuierlich sind, aber nicht differenzierbar.

Die Windungszahl einer geschlossenen Kurve ${displaystyle f}$ relativ zu jedem Punkt ${displaystyle p}$ das ist nicht auf der kurve, man kommt vorbei ${displaystyle f}$ über einen Vektor verschieben ${displaystyle -p}$:

${Anzeigestil W(f,p):=W(f-p)}$

Beispiele

Der gegen den Uhrzeigersinn verfahrene Einheitskreis kann wie folgt parametriert werden.

${displaystyle f:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}:tmapsto (f_{1}(t),f_{2}(t))=(cos 2pi t,sin 2pi t)}$

Laut Definition ist die Windungszahl dann gleich

${displaystyle {1 über 2pi }int _{t=0}^{1}{2pi sin '2pi tcos 2pi t-2pi cos '2pi tsin 2pi t über cos ^{2}2pi t sin ^{2}2pi t} {m {d}}t={1 über 2pi }int _{t=0}^{1}{2pi über 1}{m {d}}t=1}$.

Die folgende Parametrierung durchläuft den Einheitskreis zweimal hintereinander:

${displaystyle f:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}:tmapsto (f_{1}(t),f_{2}(t))=(cos 4pi t,sin 4pi t)}$

Es ist leicht zu berechnen, dass die Windungszahl dann 2 wird.

Unveränderlichkeit

Durch Auswechslung Es wird gezeigt, dass sich die Windungszahl beim Übergang zu einem neuen Parameter nicht ändert, vorausgesetzt, die Orientierung bleibt erhalten. Andernfalls ändert sich das Vorzeichen der Wicklungsnummer. Die Anzahl der Windungen hängt daher allein vom Abbild der Kurve und von deren Orientierung ab.

wenn ${Anzeigestil r(t)}$ eine differenzierbare reelle Funktion des Parameterintervalls ist, die am Start- und Endpunkt dieses Intervalls denselben Wert annimmt und nirgendwo Null wird, dann können wir eine neue geschlossene Kurve erstellen ${displaystyle g}$ machen durch ${displaystyle f}$ überall mit ${displaystyle r}$ multiplizieren:

${displaystyle g:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}:tmapsto g(t)=r(t)f(t)}$

Die neue Kurve ${displaystyle g}$ hat die gleiche Windungszahl wie ${displaystyle f}$. Dies wird gezeigt durch ${displaystyle g}$ in die Integralformel einzutragen.

Beispiel

Die geschlossene Kurve ${displaystyle g}$ windet sich zweimal um den Ursprung

die Kurve ${displaystyle r:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}}$ wird parametriert durch

${Anzeigestil r(t)=3-cos 2pi t}$

Ist das kombiniert mit ${displaystyle f:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}}$ die den Einheitskreis zweimal durchläuft:

${displaystyle f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t))=(cos 4pi t,sin 4pi t)}$,

dann entsteht eine "interessantere" Kurve ontstaat ${displaystyle g:[0,1] oder mathbb {R} ^{2}}$, die noch Wicklungsnummer 2 hat:

${Anzeigestil g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))=(3-cos 2pi t)(cos 4pi t,sin 4pi t)}$

Bewerbung in der Informatik

In dem Computergrafik die Windungszahl ist eine Technik, um herauszufinden, ob ein gegebener Punkt innerhalb oder außerhalb eines gegebenen Polygons liegt. Sie ${displaystyle p}$ der angegebene Punkt und sind ${displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}}$ die aufeinanderfolgenden Ecken von a, nicht unbedingt konvex, Polygon. Die Windungszahl des Umfangs des Polygons in Bezug auf den Punkt ${displaystyle p}$ ist, auf einem Faktor ${Displaystil 2pi }$ nach, gleich

${Anzeigestil Summe _{i=0}^{n-1}Winkel (q_{i},p,q_{i 1})}$

wo wir uns einig sind ${displaystyle q_{0}=q_{n}}$. Genauso liegt ein Punkt innerhalb eines Polygons und die Windungszahl ist ungleich 0, Englisch: die Wicklungsregel ungleich null.