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Es Kreuzprodukt, Vektorprodukt, vektorielles Produkt, externes Produkt oder aus produkt (nicht zu verwechseln mit dem englischen 'outer product', das ist a Tensorprodukt ist) von zwei Vektoren im drei Dimensionen ist ein Vektor, der aufrecht auf beiden Vektoren liegt und deren Betrag gleich dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren und der Sinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren. Die Richtung des Kreuzprodukts wird durch den Korkenzieher oder de festgelegt rechte hand regel. Im Gegensatz zu den internes Produkt, das Kreuzprodukt ist nicht Skalar, sondern ein Vektor.

Definition

Grafische Darstellung des Kreuzprodukts von Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$. Der Vektor ${displaystyle mathbf {n} }$ ist senkrecht zu ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ und weist auf die Bewegung eines Korkenziehers hin, der sich von ${displaystyle mathbf {a} }$ zu ${displaystyle mathbf {b} }$ wird gedreht.

Es Kreuzprodukt${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$ der Vektoren ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ in einem dreidimensionalen Raum wird durch die folgenden 3 Regeln definiert^[Quelle?] :

1. ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$ Zustand aufrecht auf ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ (Richtung von ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$)
2. ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$ konstituieren rechtshändiges Koordinatensystem;
3. ${displaystyle |mathbf {a} imes mathbf {b} |=|mathbf {a} |;|mathbf {b} |sin(heta )}$ (Größe von ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$), wobei θ der Winkel zwischen ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ ist.

Die Regeln 1 und 2 bedeuten, dass die Richtung des Kreuzprodukts durch den Vektor bestimmt wird ${displaystyle mathbf {a} }$ zum Vektor ${displaystyle mathbf {b} }$ sich umdrehen, als wäre man ein Korkenzieher dann bestimmt die Richtung des Korkenziehers die Richtung des Kreuzprodukts. Das nennt man Korkenzieherregel. Heutzutage ist es auch als Rechtshänder oder Pistolengriff bekannt.

Zeile 3 legt den Betrag des Kreuzprodukts gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Vektoren fest ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ als Seiten.

Die Formel für das Kreuzprodukt von ${displaystyle mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$ und ${displaystyle mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$ ausgedrückt in den Koordinaten von ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ lautet:

${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_ {x}b_{y}-a_{y}b_{x})}$.

Um sich an diese Formel zu erinnern, wird sie in der folgenden Form geschrieben: bestimmend, in welchem ${displaystyle mathbf {e} _{x}}$, ${displaystyle mathbf {e} _{y}}$ und ${displaystyle mathbf {e} _{z}}$ das Einheitsvektoren entlang der x-, y- bzw. z-Achse.

${displaystyle { egin{array}{rccl}mathbf {a} imes mathbf {b} &=&(a_{x},a_{y},a_{z}) imes (b_{x},b_{y}, b_{z})&/&=&{ egin{vmatrix}mathbf {e} _{x}&mathbf {e} _{y}&mathbf {e} _{z}/a_{x}&a_{y}&a_{ z}/b_{x}&b_{y}&b_{z}/end{vmatrix}}&=(a_{y}b_{z}-b_{y}a_{z})mathbf {e} _{x} -(a_{x}b_{z}-b_{x}a_{z})mathbf {e} _{y} (a_{x}b_{y}-b_{x}a_{y})mathbf {e } _{z}//&=&{ egin{pmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}/a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z} /a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}/end{pmatrix}}&=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_ {x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})end{array}}}$

Hinweis: In der obigen Formel verwenden wir die Determinante nur als Gedächtnisstütze und um die Berechnung zu erleichtern. Die Determinante ist keine reelle Determinante, dh die Determinante einer reellen Matrix. Grundsätzlich dürfen nur Skalare (Zahlen) vorkommen, keine Vektoren.

Eigenschaften

geometrisch

• Die Größe ${displaystyle |mathbf {a} imes mathbf {b} |}$ des Vektors ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$, ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit Seiten ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$.
• wenn ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ parallel (parallel) sein, das Kreuzprodukt ist ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} =mathbf {0} }$. Umgekehrt folgt aus ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} =mathbf {0} }$, Welche ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ parallel sein (es ist möglich, dass ${displaystyle mathbf {a} }$ oder ${displaystyle mathbf {b} }$ das Nullvektor vorstellen).
• Sein ${displaystyle mathbf {a} }$ und ${displaystyle mathbf {b} }$ ein Paar nicht paralleler Richtungsvektoren einer Ebene ${displaystyle alpha leftrightarrow ux vy wz t=0}$, dann ist ${displaystyle mathbf {n} (u,v,w)}$ ein Vielfaches von ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} }$.

Algebraisch

• ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {a} =mathbf {0} }$,
• ${displaystyle mathbf {a} imes mathbf {b} =-mathbf {b} imes mathbf {a} }$,
• Das Identität von Jacobi:

${displaystyle mathbf {a} imes (mathbf {b} imes mathbf {c} ) mathbf {b} imes (mathbf {c} imes mathbf {a} ) mathbf {c} imes (mathbf {a} imes mathbf {b} ) =mathbf {0} }$

• Formel von Lagrange: Die folgende Eigenschaft wird häufig verwendet:

${displaystyle mathbf {a} imes (mathbf {b} imes mathbf {c} ) = (mathbf {a} cdot mathbf {c} );mathbf {b} -(mathbf {a} cdot mathbf {b} );mathbf { c} }$

Auch die Identität von Jacobi kann damit verifiziert werden.

• Auch von Lagrange ist die Beziehung:

${displaystyle |mathbf {a} imes mathbf {b} |^{2} |mathbf {a} cdot mathbf {b} |^{2}=|mathbf {a} |^{2}|mathbf {b} |^ {2}}$

was wenig mehr bedeutet, als dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus gleich eins ist.

Die zweite Eigenschaft folgt aus der Anwendung der ersten Eigenschaft auf ${displaystyle (mathbf {a} mathbf {b} ) imes (mathbf {a} mathbf {b} )}$. Die erste Eigenschaft folgt auch unmittelbar aus der zweiten, sofern 1 1 ≠ 0, d. h. die charakteristisch des Rings ${Anzeigestil R}$ ist anders als 2.

Die erste und dritte Eigenschaft zusammen bedeuten, dass für alle Körper (in Belgien: Feld)${Anzeigestil K}$ mit beliebiger Charakteristik, der Raum ${Displaystil K^{3}}$ mit dem Kreuzprodukt a Lügenalgebra Formen.

Benutzen

Das Kreuzprodukt wird in der Mathematik oft verwendet, um einen Vektor zu bestimmen, der senkrecht zu den ersten beiden steht, indem zwei gegebene Vektoren verwendet werden (siehe unter anderem normaler Vektor).

In dem Mechanik ein Kreuzprodukt wird verwendet, um a . zu bilden Moment relativ zu einem Punkt berechnen:${displaystyle {vec {M}}={vec {r}} imes {vec {F}}}$, mit ${displaystyle {vec {M}}}$ der Moment, ${displaystyle {vec {F}}}$ die Macht, und ${displaystyle {vec {r}}}$ das Platzieren Sie den Vektor. Sie sind alle drei Vektoren, aber von unterschiedlichen Vektorräume.

Nicht-tensorialer Charakter

Das Kreuzprodukt in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ wird unter a . gehalten isometrisch lineare Transformation, auf dem Schild: orientierungserhaltende Isometrien (Drehungen) speichern das Kreuzprodukt, orientierungsumkehrende Isometrien (Drehinversionen, beispielsweise Reflexionen) wandeln das Kreuzprodukt zweier Vektoren in das Gegenteil um.

In der Tensoralgebra wird die obige Besonderheit dadurch ausgedrückt, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren a Pseudovektor ist.

Externe Links

• Produktübergreifend - mathworld.wolfram.com