WikiDer > Производные Виртингера

В комплексный анализ одного и несколько сложных переменных, Производные Виртингера (иногда также называют Операторы Wirtinger^[1]), названный в честь Вильгельм Виртингер который ввел их в 1927 г. в ходе своих исследований теория функций нескольких комплексных переменных, находятся операторы с частными производными первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные по отношению к одному реальная переменная, применительно к голоморфные функции, антиголоморфные функции или просто дифференцируемые функции на сложные домены. Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление для таких функций, что полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функции вещественных переменных.^[2]

Исторические заметки

Ранние годы (1899–1911): работы Анри Пуанкаре

Производные Виртингера использовались в комплексный анализ по крайней мере, еще в статье (Пуанкаре 1899), как вкратце отметил Черри и Е (2001), п. 31) и Реммерт (1991, стр. 66–67).^[3] Собственно говоря, в третьем абзаце его статьи 1899 г.^[4] Анри Пуанкаре сначала определяет комплексная переменная в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ и это комплексно сопряженный следующее

${ displaystyle { begin {cases} x_ {k} + iy_ {k} = z_ {k} x_ {k} -iy_ {k} = u_ {k} end {cases}} qquad 1 leqslant k leqslant n.}$

Затем он пишет уравнение, определяющее функции ${ displaystyle V}$ он звонит бигармонический,^[5] ранее написано с использованием частные производные с уважением к настоящий переменные ${ displaystyle x_ {k}, y_ {q}}$ с ${ displaystyle k, q}$ от 1 до ${ displaystyle n}$, ровно следующим образом^[6]

${ displaystyle { frac {d ^ {2} V} {dz_ {k} , du_ {q}}} = 0}$

Это означает, что он неявно использовал определение 2 ниже: чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить уравнения 2 и 2 'из (Пуанкаре 1899, п. 112). По-видимому, эта статья не была замечена первыми исследователями в теория функций нескольких комплексных переменных: в газетах Леви-Чивита (1905), Леви (1910) (и Леви 1911) и из Аморосо (1912) все фундаментальные операторы с частными производными теории выражаются непосредственно с помощью частные производные уважение к настоящий и мнимые части из комплексные переменные участвует. В длинном обзоре Осгуд (1966) (впервые опубликовано в 1913 г.),^[7] частные производные по каждому комплексная переменная из голоморфная функция нескольких комплексных переменных кажется, подразумевается как формальные производные: собственно говоря, когда Осгуд выразить плюригармонический оператор^[8] и Оператор Леви, он следует установившейся практике Аморосо, Леви и Леви-Чивита.

Работы Димитри Помпею в 1912 и 1913 годах: новая формулировка

В соответствии с Хенрици (1993, п. 294), новый шаг в определении понятия сделал Димитрие Помпейу: в газете (Помпей 1912), учитывая комплексно оцененный дифференцируемая функция (в смысле реальный анализ) одного комплексная переменная ${ displaystyle g (z)}$ определено в район данного точка ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C},}$ он определяет ареолярная производная в дальнейшем предел

${ displaystyle {{ frac { partial g} { partial { bar {z}}}} (z_ {0})} { overset { mathrm {def}} {=}} lim _ {r to 0} { frac {1} {2 pi ir ^ {2}}} oint _ { Gamma (z_ {0}, r)} g (z) mathrm {d} z,}$

куда ${ displaystyle Gamma (z_ {0}, r) = partial D (z_ {0}, r)}$ это граница из диск радиуса ${ displaystyle r}$ полностью содержится в область определения из ${ displaystyle g (z),}$ то есть его граница круг.^[9] Очевидно, это альтернативное определение производной Виртингера по комплексно сопряженный Переменная:^[10] это более общий характер, поскольку, как отмечает Хенрици (1993, п. 294), предел может существовать для функций, которые даже не дифференцируемый в ${ displaystyle z = z_ {0}.}$^[11] В соответствии с Fichera (1969 г.), п. 28), первым идентифицировавшим ареолярная производная как слабая производная в чувство соболева был Илья Векуа.^[12] В его следующей статье Помпейу (1913) использует это недавно определенное понятие, чтобы представить свое обобщение Интегральная формула Коши, сейчас называется Формула Коши – Помпейу.

Работа Вильгельма Виртингера

Первое систематическое введение производных Виртингера, кажется, связано с Вильгельм Виртингер в газете Виртингер 1926 для упрощения вычислений величин, входящих в теория функций нескольких комплексных переменных: в результате введения этих дифференциальные операторы, вид всех дифференциальных операторов, обычно используемых в теории, таких как Оператор Леви и Оператор Коши – Римана, значительно упрощен и, следовательно, легче в обращении. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, т.е. без строгого вывода выведенных свойств.

Формальное определение

Несмотря на их повсеместное использование,^[13] кажется, что нет текста, перечисляющего все свойства производных Виртингера: тем не менее, довольно полные ссылки - это краткий курс по многомерный комплексный анализ к Андреотти (1976, стр. 3–5),^[14] то монография из Ганнинг и Росси (1965, стр. 3–6),^[15] и монография Кауп и Кауп (1983, п. 2,4)^[16] которые используются в качестве общих ссылок в этом и следующих разделах.

Функции одной комплексной переменной

Определение 1. Рассмотрим комплексная плоскость ${ Displaystyle mathbb {C} Equiv mathbb {R} ^ {2} = {(x, y) mid x, y in mathbb {R} }.}$ Производные Виртингера определяются как следующие линейный операторы в частных производных первого порядка:

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial z}} & = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x}} -i { frac { partial} { partial y}} right) { frac { partial} { partial { bar {z}}}} & = { frac {1} {2} } left ({ frac { partial} { partial x}} + i { frac { partial} { partial y}} right) end {выровнено}}}$

Ясно, что естественный домен определения этих дифференциальных операторов с частными производными является пространство ${ displaystyle C ^ {1}}$ функции на домен ${ Displaystyle Omega substeq mathbb {R} ^ {2},}$ но, поскольку эти операторы линейный и имеют постоянные коэффициенты, их легко распространить на любой Космос из обобщенные функции.

Функции п > 1 комплексных переменных

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на сложное поле ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} = mathbb {R} ^ {2n} = left { left ( mathbf {x}, mathbf {y} right) = left (x_ { 1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n} right) mid mathbf {x}, mathbf {y} in mathbb {R} ^ {n} верно}.}$ Производные Виртингера определяются как следующие линейный операторы с частными производными первого порядка:

${ displaystyle { begin {cases} { frac { partial} { partial z_ {1}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}} - i { frac { partial} { partial y_ {1}}} right) qquad vdots { frac { partial} { partial z_ {n}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x_ {n}}} - i { frac { partial} { partial y_ {n}}} right ) end {case}}, qquad { begin {cases} { frac { partial} { partial { bar {z}} _ {1}}} = { frac {1} {2 }} left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}} + i { frac { partial} { partial y_ {1}}} right) qquad vdots { frac { partial} { partial { bar {z}} _ {n}}} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial} { partial x_ {n }}} + i { frac { partial} { partial y_ {n}}} right) end {cases}}.}$

Что касается производных Виртингера для функций одного комплексного переменного, то естественный домен определения этих дифференциальных операторов в частных производных снова является пространством ${ displaystyle C ^ {1}}$ функции на домен ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {2n},}$ и снова, поскольку эти операторы линейный и имеют постоянные коэффициенты, их легко распространить на любой Космос из обобщенные функции.

Основные свойства

В настоящем и следующих разделах предполагается, что ${ Displaystyle г в mathbb {C} ^ {п}}$ это сложный вектор и это ${ Displaystyle г экв (х, у) = (х_ {1}, ldots, х_ {п}, у_ {1}, ldots, у_ {п})}$ куда ${ displaystyle x, y}$ находятся реальные векторы, с п ≥ 1: также предполагается, что подмножество ${ displaystyle Omega}$ можно рассматривать как домен в настоящий евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ или в его изоморфный сложный двойник ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Все доказательства - простые следствия определение 1 и определение 2 и соответствующих свойств производные (обычный или частичный).

Линейность

Лемма 1. Если ${ displaystyle f, g in C ^ {1} ( Omega)}$ и ${ displaystyle alpha, beta}$ находятся сложные числа, то для ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ выполняются следующие равенства

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial z_ {i}}} left ( alpha f + beta g right) & = alpha { frac { partial f} { partial z_ {i}}} + beta { frac { partial g} { partial z_ {i}}} { frac { partial} { partial { bar {z}} _ {i }}} left ( alpha f + beta g right) & = alpha { frac { partial f} { partial { bar {z}} _ {i}}} + beta { frac { partial g} { partial { bar {z}} _ {i}}} end {align}}}$

Правило продукта

Лемма 2. Если ${ Displaystyle е, г в С ^ {1} ( Омега),}$ тогда для ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ то правило продукта держит

${ Displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial z_ {i}}} (f cdot g) & = { frac { partial f} { partial z_ {i}}} cdot g + f cdot { frac { partial g} { partial z_ {i}}} { frac { partial} { partial { bar {z}} _ {i}}} ( f cdot g) & = { frac { partial f} { partial { bar {z}} _ {i}}} cdot g + f cdot { frac { partial g} { partial { bar {z}} _ {i}}} end {align}}}$

Это свойство означает, что производные Виртингера равны производные от абстрактная алгебра точка зрения, в точности как обычная производные находятся.

Правило цепи

Это свойство принимает две разные формы соответственно для функций одного и несколько сложных переменных: для п > 1 случай, чтобы выразить Правило цепи в полной общности необходимо рассмотреть два домены ${ Displaystyle Omega ' substeq mathbb {C} ^ {m}}$ и ${ Displaystyle Omega '' substeq mathbb {C} ^ {p}}$ и два карты ${ displaystyle g: Omega ' to Omega}$ и ${ displaystyle f: Omega to Omega ''}$ имея естественный гладкость требования.^[17]

Функции одной комплексной переменной

Лемма 3.1. Если ${ Displaystyle е, г в С ^ {1} ( Омега),}$ и ${ Displaystyle г ( Omega) substeq Omega,}$ затем Правило цепи держит

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial z}} (f circ g) & = left ({ frac { partial f} { partial z}} circ g right) { frac { partial g} { partial z}} + left ({ frac { partial f} { partial { bar {z}}}} circ g right) { frac { partial { bar {g}}} { partial z}} { frac { partial} { partial { bar {z}}}} (f circ g) & = left ({ frac { partial f} { partial z}} circ g right) { frac { partial g} { partial { bar {z}}}} + left ({ frac { partial f } { partial { bar {z}}}} circ g right) { frac { partial { bar {g}}} { partial { bar {z}}}} end {выровнено} }}$

Функции п > 1 комплексных переменных

Лемма 3.2. Если ${ Displaystyle г в C ^ {1} ( Omega ', Omega)}$ и ${ displaystyle f in C ^ {1} ( Omega, Omega ''),}$ тогда для ${ Displaystyle я = 1, точки, м}$ следующая форма Правило цепи держит

${ displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial z_ {i}}} left (f circ g right) & = sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac { partial f} { partial z_ {j}}} circ g right) { frac { partial g_ {j}} { partial z_ {i}}} + sum _ { j = 1} ^ {n} left ({ frac { partial f} { partial { bar {z}} _ {j}}} circ g right) { frac { partial { bar {g}} _ {j}} { partial z_ {i}}} { frac { partial} { partial { bar {z}} _ {i}}} left (f circ g right) & = sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac { partial f} { partial z_ {j}}} circ g right) { frac { partial g_ {j}} { partial { bar {z}} _ {i}}} + sum _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac { partial f} { partial { bar {z}} _ {j}}} circ g right) { frac { partial { bar {g}} _ {j}} { partial { bar {z}} _ {i}}} конец {выровнено}}}$

Конъюгация

Лемма 4. Если ${ displaystyle f in C ^ {1} ( Omega),}$ тогда для ${ Displaystyle я = 1, точки, п}$ выполняются следующие равенства

${ displaystyle { begin {align} { overline { left ({ frac { partial f} { partial z_ {i}}} right)}} & = { frac { partial { bar { f}}} { partial { bar {z}} _ {i}}} { overline { left ({ frac { partial f} { partial { bar {z}} _ {i }}} right)}} & = { frac { partial { bar {f}}} { partial z_ {i}}} end {выравнивается}}}$

Смотрите также

• CR – функция
• Комплекс Дольбо
• Оператор Dolbeault
• Плюригармоническая функция

Примечания

Рекомендации