WikiDer > Производные Виртингера

Wirtinger derivatives

В комплексный анализ одного и несколько сложных переменных, Производные Виртингера (иногда также называют Операторы Wirtinger[1]), названный в честь Вильгельм Виртингер который ввел их в 1927 г. в ходе своих исследований теория функций нескольких комплексных переменных, находятся операторы с частными производными первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные по отношению к одному реальная переменная, применительно к голоморфные функции, антиголоморфные функции или просто дифференцируемые функции на сложные домены. Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление для таких функций, что полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функции вещественных переменных.[2]

Исторические заметки

Ранние годы (1899–1911): работы Анри Пуанкаре

Производные Виртингера использовались в комплексный анализ по крайней мере, еще в статье (Пуанкаре 1899), как вкратце отметил Черри и Е (2001), п. 31) и Реммерт (1991, стр. 66–67).[3] Собственно говоря, в третьем абзаце его статьи 1899 г.[4] Анри Пуанкаре сначала определяет комплексная переменная в и это комплексно сопряженный следующее

Затем он пишет уравнение, определяющее функции он звонит бигармонический,[5] ранее написано с использованием частные производные с уважением к настоящий переменные с от 1 до , ровно следующим образом[6]

Это означает, что он неявно использовал определение 2 ниже: чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить уравнения 2 и 2 'из (Пуанкаре 1899, п. 112). По-видимому, эта статья не была замечена первыми исследователями в теория функций нескольких комплексных переменных: в газетах Леви-Чивита (1905), Леви (1910)Леви 1911) и из Аморосо (1912) все фундаментальные операторы с частными производными теории выражаются непосредственно с помощью частные производные уважение к настоящий и мнимые части из комплексные переменные участвует. В длинном обзоре Осгуд (1966) (впервые опубликовано в 1913 г.),[7] частные производные по каждому комплексная переменная из голоморфная функция нескольких комплексных переменных кажется, подразумевается как формальные производные: собственно говоря, когда Осгуд выразить плюригармонический оператор[8] и Оператор Леви, он следует установившейся практике Аморосо, Леви и Леви-Чивита.

Работы Димитри Помпею в 1912 и 1913 годах: новая формулировка

В соответствии с Хенрици (1993, п. 294), новый шаг в определении понятия сделал Димитрие Помпейу: в газете (Помпей 1912), учитывая комплексно оцененный дифференцируемая функция (в смысле реальный анализ) одного комплексная переменная определено в район данного точка он определяет ареолярная производная в дальнейшем предел

куда это граница из диск радиуса полностью содержится в область определения из то есть его граница круг.[9] Очевидно, это альтернативное определение производной Виртингера по комплексно сопряженный Переменная:[10] это более общий характер, поскольку, как отмечает Хенрици (1993, п. 294), предел может существовать для функций, которые даже не дифференцируемый в [11] В соответствии с Fichera (1969 г.), п. 28), первым идентифицировавшим ареолярная производная как слабая производная в чувство соболева был Илья Векуа.[12] В его следующей статье Помпейу (1913) использует это недавно определенное понятие, чтобы представить свое обобщение Интегральная формула Коши, сейчас называется Формула Коши – Помпейу.

Работа Вильгельма Виртингера

Первое систематическое введение производных Виртингера, кажется, связано с Вильгельм Виртингер в газете Виртингер 1926 для упрощения вычислений величин, входящих в теория функций нескольких комплексных переменных: в результате введения этих дифференциальные операторы, вид всех дифференциальных операторов, обычно используемых в теории, таких как Оператор Леви и Оператор Коши – Римана, значительно упрощен и, следовательно, легче в обращении. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, т.е. без строгого вывода выведенных свойств.

Формальное определение

Несмотря на их повсеместное использование,[13] кажется, что нет текста, перечисляющего все свойства производных Виртингера: тем не менее, довольно полные ссылки - это краткий курс по многомерный комплексный анализ к Андреотти (1976, стр. 3–5),[14] то монография из Ганнинг и Росси (1965, стр. 3–6),[15] и монография Кауп и Кауп (1983, п. 2,4)[16] которые используются в качестве общих ссылок в этом и следующих разделах.

Функции одной комплексной переменной

Определение 1. Рассмотрим комплексная плоскость Производные Виртингера определяются как следующие линейный операторы в частных производных первого порядка:

Ясно, что естественный домен определения этих дифференциальных операторов с частными производными является пространство функции на домен но, поскольку эти операторы линейный и имеют постоянные коэффициенты, их легко распространить на любой Космос из обобщенные функции.

Функции п > 1 комплексных переменных

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на сложное поле Производные Виртингера определяются как следующие линейный операторы с частными производными первого порядка:

Что касается производных Виртингера для функций одного комплексного переменного, то естественный домен определения этих дифференциальных операторов в частных производных снова является пространством функции на домен и снова, поскольку эти операторы линейный и имеют постоянные коэффициенты, их легко распространить на любой Космос из обобщенные функции.

Основные свойства

В настоящем и следующих разделах предполагается, что это сложный вектор и это куда находятся реальные векторы, с п ≥ 1: также предполагается, что подмножество можно рассматривать как домен в настоящий евклидово пространство или в его изоморфный сложный двойник Все доказательства - простые следствия определение 1 и определение 2 и соответствующих свойств производные (обычный или частичный).

Линейность

Лемма 1. Если и находятся сложные числа, то для выполняются следующие равенства

Правило продукта

Лемма 2. Если тогда для то правило продукта держит

Это свойство означает, что производные Виртингера равны производные от абстрактная алгебра точка зрения, в точности как обычная производные находятся.

Правило цепи

Это свойство принимает две разные формы соответственно для функций одного и несколько сложных переменных: для п > 1 случай, чтобы выразить Правило цепи в полной общности необходимо рассмотреть два домены и и два карты и имея естественный гладкость требования.[17]

Функции одной комплексной переменной

Лемма 3.1. Если и затем Правило цепи держит

Функции п > 1 комплексных переменных

Лемма 3.2. Если и тогда для следующая форма Правило цепи держит

Конъюгация

Лемма 4. Если тогда для выполняются следующие равенства

Смотрите также

Примечания

  1. ^ См. Ссылки Fichera 1986, п. 62 и Крахт и Крейсциг 1988, п. 10.
  2. ^ Некоторые из основных свойств производных Виртингера такие же, как и свойства, характеризующие обычные (или частичные) производные и используется для постройки обычных дифференциальное исчисление.
  3. ^ Ссылка на работу Пуанкаре 1899 из Анри Пуанкаре точно указано Черри и Йе (2001), пока Райнхольд Реммерт не цитирует никаких ссылок, подтверждающих его утверждение.
  4. ^ См. Ссылку (Пуанкаре 1899, стр. 111–114).
  5. ^ Эти функции точно плюригармонические функции, а линейный дифференциальный оператор определяя их, т.е.оператор в уравнении 2 (Пуанкаре 1899, п. 112), именно п-размерный плюригармонический оператор.
  6. ^ Видеть (Пуанкаре 1899, п. 112), уравнение 2 ': обратите внимание, что во всем документе символ используется для обозначения частичная дифференциация уважение к данному Переменная, вместо теперь уже привычного символа ∂.
  7. ^ Исправленный Дуврское издание бумаги (Осгуд 1913) содержит много важной исторической информации о раннем развитии теория функций нескольких комплексных переменных, и поэтому является полезным источником.
  8. ^ Видеть Осгуд (1966, pp. 23–24): любопытно, что он называет Уравнения Коши – Римана это система уравнений.
  9. ^ Это определение, данное Хенрици (1993, п. 294) в своем подходе к Работа Помпею: в качестве Fichera (1969 г.), п. 27) примечания, исходное определение Помпейу (1912) не требует домен из интеграция быть круг. Смотрите запись ареолярная производная для дополнительной информации.
  10. ^ См. Раздел "Формальное определение"этой записи.
  11. ^ См. Проблему 2 в Хенрици 1993, п. 294 для одного примера такой функции.
  12. ^ См. Также отличную книгу автора Векуа (1962 г., п. 55), теорема 1.31: Если обобщенная производная , p> 1, то функция имеет почти всюду в производная в смысле Помпейу, причем последний равен Обобщенная производная в смысле Соболев .
  13. ^ С или без атрибуции концепции Вильгельм Виртингер: см., например, известную монографию Хёрмандер 1990, п. 1,23.
  14. ^ В этом курсе лекции, Альдо Андреотти использует свойства производных Виртингера для доказательства закрытие из алгебра из голоморфные функции при определенных операции: эта цель является общей для всех ссылок, цитируемых в этом разделе.
  15. ^ Это классическая работа над теория функций нескольких комплексных переменных занимаясь в основном своими теоретическая связка аспекты: однако во вводных разделах представлены производные Виртингера и некоторые другие аналитические инструменты, а также описано их применение в теории.
  16. ^ В этой работе авторы доказывают некоторые свойства производных Виртингера также для общего случая функции: в этом единственном аспекте их подход отличается от подхода других авторов, цитируемых в этом разделе, и, возможно, является более полным.
  17. ^ Видеть Кауп и Кауп 1983, п. 4, а также Ганнинг 1990, п. 5: Ганнинг рассматривает общий случай функции но только для п = 1. Ссылки Андреотти 1976, п. 5 и Ганнинг и Росси 1965, п. 6, как уже указывалось, рассматривать только голоморфные отображения с п = 1: однако полученные формулы формально очень похожи.

Рекомендации

Исторические ссылки

Научные ссылки