WikiDer > Антисимметричный тензор

В математика и теоретическая физика, а тензор является антисимметричный на (или относительно) подмножество индексов если он чередуется знак (+/−), когда любые два индекса подмножества меняются местами.^[1][2] Подмножество индексов обычно должно включать все ковариантный или все контравариантный.

Например,

${ displaystyle T_ {ijk dots} = - T_ {jik dots} = T_ {jki dots} = - T_ {kji dots} = T_ {kij dots} = - T_ {ikj dots}}$

выполняется, когда тензор антисимметричен по своим первым трем индексам.

Если тензор меняет знак при замене каждый пары его индексов, то тензор полностью (или полностью) антисимметричный. Полностью антисимметричный ковариантный тензор порядок п можно назвать п-форма, а полностью антисимметричный контравариантный тензор можно назвать п-вектор.

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор А антисимметричный по индексам я и j обладает тем свойством, что сокращение с тензором B симметричный по индексам я и j тождественно 0.

Для общего тензора U с компонентами ${ displaystyle U_ {ijk dots}}$ и пара индексов я и j, U имеет симметричные и антисимметричные части, определяемые как:

${ Displaystyle U _ {(ij) k dots} = { frac {1} {2}} (U_ {ijk dots} + U_ {jik dots})}$		(симметричная часть)
${ displaystyle U _ {[ij] k dots} = { frac {1} {2}} (U_ {ijk dots} -U_ {jik dots})}$		(антисимметричная часть).

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор - это сумма его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в

${ displaystyle U_ {ijk dots} = U _ {(ij) k dots} + U _ {[ij] k dots}.}$

Обозначение

Сокращенное обозначение антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора порядка 2 M,

${ displaystyle M _ {[ab]} = { frac {1} {2!}} (M_ {ab} -M_ {ba}),}$

а для ковариантного тензора порядка 3 Т,

${ displaystyle T _ {[abc]} = { frac {1} {3!}} (T_ {abc} -T_ {acb} + T_ {bca} -T_ {bac} + T_ {cab} -T_ {cba }).}$

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как

${ displaystyle M _ {[ab]} = { frac {1} {2!}} , delta _ {ab} ^ {cd} M_ {cd},}$

${ displaystyle T _ {[abc]} = { frac {1} {3!}} , delta _ {abc} ^ {def} T_ {def}.}$

где ${ displaystyle delta _ {ab dots} ^ {cd dots}}$ является обобщенным Дельта Кронекера, и мы используем Обозначения Эйнштейна к суммированию по одинаковым индексам.

В более общем смысле, независимо от количества измерений, антисимметризация п индексы могут быть выражены как

${ displaystyle T _ {[a_ {1} dots a_ {p}]} = { frac {1} {p!}} delta _ {a_ {1} dots a_ {p}} ^ {b_ {1 } dots b_ {p}} T_ {b_ {1} dots b_ {p}}.}$

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом:

${ displaystyle T_ {ij} = { frac {1} {2}} (T_ {ij} + T_ {ji}) + { frac {1} {2}} (T_ {ij} -T_ {ji} )}$

Это разложение в общем случае неверно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложные симметрии.

Примеры

К полностью антисимметричным тензорам относятся:

• Тривиально все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны)
• В электромагнитный тензор, ${ displaystyle F _ { mu nu}}$ в электромагнетизм
• В Риманова форма объема на псевдориманово многообразие

Смотрите также

• Символ Леви-Чивита
• Симметричный тензор
• Антисимметричная матрица
• Антисимметричное отношение
• Внешняя алгебра
• Исчисление Риччи

Заметки

использованная литература

• J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

внешние ссылки

• Антисимметричный тензор - mathworld.wolfram.com