WikiDer > Тензор (внутреннее определение)

Было предложено, чтобы эта статья была слился в Тензор. (Обсуждать) Предлагается с февраля 2020 года.

В математика, современный без компонентов подход к теории тензор рассматривает тензор как абстрактный объект, выражая определенный тип полилинейного понятия. Их известные свойства^{[ласковые слова]} могут быть выведены из их определений, как линейные карты или в более общем смысле; а правила манипуляции с тензорами возникают как расширение линейная алгебра к полилинейная алгебра.

В дифференциальная геометрия внутренний^{[необходимо определение]} геометрическое утверждение может быть описано тензорное поле на многообразие, и тогда вообще не нужно ссылаться на координаты. То же самое верно в общая теория относительности, тензорных полей, описывающих физическая собственность. Бескомпонентный подход также широко используется в абстрактная алгебра и гомологическая алгебра, где тензоры возникают естественным образом.

Примечание: Эта статья предполагает понимание тензорное произведение из векторные пространства без избранного базы. Обзор темы можно найти в главном тензор статья.

Определение через тензорные произведения векторных пространств

Учитывая конечное множество { V₁, ..., V_п } из векторные пространства над общим поле Fможно сформировать их тензорное произведение V₁ ⊗ ... ⊗ V_п, элемент которого называется тензор.

А тензор в векторном пространстве V затем определяется как элемент (то есть вектор в) векторного пространства формы:

${ displaystyle V otimes cdots otimes V otimes V ^ {*} otimes cdots otimes V ^ {*}}$

куда V^∗ это двойное пространство из V.

Если есть м копии V и п копии V^∗ в нашем продукте говорят, что тензор имеет тип (м, п) и контравариант порядка м и ковариантный порядок п и всего порядок м + п. Тензоры нулевого порядка - это просто скаляры (элементы поля F) контравариантного порядка 1 - это векторы из V, а ковариантного порядка 1 - одноформный в V^∗ (по этой причине два последних пространства часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа (м, п) обозначается

${ displaystyle T_ {n} ^ {m} (V) = underbrace {V otimes dots otimes V} _ {m} otimes underbrace {V ^ {*} otimes dots otimes V ^ { *}} _ {n}.}$

Пример 1. Пространство типа (1, 1) тензоры, ${ Displaystyle T_ {1} ^ {1} (V) = V otimes V ^ {*},}$ естественным образом изоморфно пространству линейные преобразования из V к V.

Пример 2. А билинейная форма в реальном векторном пространстве V, ${ displaystyle V times V to mathbb {R},}$ естественным образом соответствует типу (0, 2) тензор в ${ displaystyle T_ {2} ^ {0} (V) = V ^ {*} otimes V ^ {*}.}$ Пример такой билинейной формы может быть определен как связанный метрический тензор, и обычно обозначается грамм.

Тензорный ранг

А простой тензор (также называемый тензором первого ранга, элементарным тензором или разложимым тензором (Hackbusch 2012, pp. 4)) - тензор, который можно записать в виде произведения тензоров вида

${ displaystyle T = a otimes b otimes cdots otimes d}$

куда а, б, ..., d ненулевые и в V или же V^∗ - то есть, если тензор отличен от нуля и полностью факторизуемый. Каждый тензор можно выразить как сумму простых тензоров. В ранг тензора Т - минимальное количество простых тензоров, сумма которых равна Т (Бурбаки 1989, II, §7, нет. 8).

В нулевой тензор имеет нулевой ранг. Тензор ненулевого порядка 0 или 1 всегда имеет ранг 1. Ранг ненулевого тензора 2 или более высокого порядка меньше или равен произведению размерностей всех векторов, кроме самых высоких размерностей (сумма произведений ), который может быть выражен тензор: d^п−1 когда каждый продукт из п векторы из конечномерного векторного пространства размерности d.

Период, термин ранг тензора расширяет понятие ранг матрицы в линейной алгебре, хотя этот термин также часто используется для обозначения порядка (или степени) тензора. Ранг матрицы - это минимальное количество векторов-столбцов, необходимых для охвата диапазон матрицы. Таким образом, матрица имеет ранг один, если ее можно записать как внешний продукт двух ненулевых векторов:

${ displaystyle A = vw ^ { mathrm {T}}.}$

Ранг матрицы А это наименьшее количество таких внешних продуктов, которое можно суммировать для его производства:

${ displaystyle A = v_ {1} w_ {1} ^ { mathrm {T}} + cdots + v_ {k} w_ {k} ^ { mathrm {T}}.}$

В индексах тензор ранга 1 - это тензор вида

${ displaystyle T_ {ij dots} ^ {k ell dots} = a_ {i} b_ {j} cdots c ^ {k} d ^ { ell} cdots.}$

Ранг тензора порядка 2 совпадает с рангом, когда тензор рассматривается как матрица (Халмос 1974, §51), и может быть определена из Гауссово исключение например. Однако ранг тензора порядка 3 или выше часто очень тяжело для определения, а разложения тензоров низкого ранга иногда представляют большой практический интерес (де Гроот 1987). Вычислительные задачи, такие как эффективное умножение матриц и эффективное вычисление многочленов, можно преобразовать в проблему одновременного вычисления набора билинейные формы

${ displaystyle z_ {k} = sum _ {ij} T_ {ijk} x_ {i} y_ {j}}$

для заданных входов Икс_я и у_j. Если разложение тензора низкого ранга Т известно, то эффективный стратегия оценки известен (Кнут 1998, стр. 506–508).

Универсальная собственность

Космос ${ displaystyle T_ {n} ^ {m} (V)}$ можно охарактеризовать универсальная собственность с точки зрения полилинейные отображения. Среди преимуществ этого подхода - то, что он дает возможность показать, что многие линейные отображения являются «естественными» или «геометрическими» (другими словами, не зависят от любого выбора базиса). Явная вычислительная информация может быть записана с использованием базисов, и такой порядок приоритетов может быть более удобным, чем доказательство формулы, приводящей к естественному отображению. Другой аспект заключается в том, что тензорные произведения используются не только для бесплатные модули, а «универсальный» подход легче переносится на более общие ситуации.

Скалярная функция на Декартово произведение (или же прямая сумма) векторных пространств

${ displaystyle f: V_ {1} times cdots times V_ {N} to mathbb {R}}$

является полилинейным, если оно линейно по каждому аргументу. Пространство всех полилинейных отображений из V₁ × ... × V_N к W обозначается L^N(V₁, ..., V_N; W). Когда N = 1, полилинейное отображение - это просто обычное линейное отображение, а пространство всех линейных отображений из V к W обозначается L(V; W).

В универсальная характеристика тензорного произведения следует, что для каждой полилинейной функции

${ displaystyle f in L ^ {m + n} ( underbrace {V ^ {*}, ldots, V ^ {*}} _ {m}, underbrace {V, ldots, V} _ {n }; W)}$

(куда ${ displaystyle W}$ может представлять поле скаляров, векторное пространство или тензорное пространство) существует единственная линейная функция

${ displaystyle T_ {f} in L ( underbrace {V ^ {*} otimes cdots otimes V ^ {*}} _ {m} otimes underbrace {V otimes cdots otimes V} _ {n}; W)}$

такой, что

${ displaystyle f ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {m}, v_ {1}, ldots, v_ {n}) = T_ {f} ( alpha _ {1} otimes cdots otimes alpha _ {m} otimes v_ {1} otimes cdots otimes v_ {n})}$

для всех ${ displaystyle v_ {i} in V}$ и ${ displaystyle alpha _ {i} in V ^ {*}.}$

Используя универсальное свойство, следует, что пространство (м,п) -тензор допускает естественный изоморфизм

${ Displaystyle T_ {n} ^ {m} (V) cong L ( underbrace {V ^ {*} otimes cdots otimes V ^ {*}} _ {m} otimes underbrace {V otimes cdots otimes V} _ {n}; mathbb {R}) cong L ^ {m + n} ( underbrace {V ^ {*}, ldots, V ^ {*}} _ {m}, underbrace {V, ldots, V} _ {n}; mathbb {R}).}$

Каждый V в определении тензора соответствует V^* внутри аргумента линейных отображений, и наоборот. (Обратите внимание, что в первом случае есть м копии V и п копии V^*, и в последнем случае наоборот). В частности, есть

${ displaystyle { begin {align} T_ {0} ^ {1} (V) & cong L (V ^ {*}; mathbb {R}) cong V T_ {1} ^ {0} (V) & cong L (V; mathbb {R}) = V ^ {*} T_ {1} ^ {1} (V) & cong L (V; V) end {выравнивается}} }$

Тензорные поля

Дифференциальная геометрия, физика и инженерное дело должен часто иметь дело с тензорные поля на гладкие многообразия. Период, термин тензор иногда используется как сокращение для тензорное поле. Тензорное поле выражает понятие тензора, который меняется от точки к точке на многообразии.

Рекомендации

• Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1985), Основы механики (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, алгебры I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• де Гроот, Х. Ф. (1987), Лекции о сложности билинейных задач, Конспект лекций по информатике, 245, Спрингер, ISBN 3-540-17205-Х.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства, Спрингер, ISBN 0-387-90093-4.
• Дживанджи, Надир (2011), Введение в тензоры и теорию групп для физиков, ISBN 978-0-8176-4714-8
• Кнут, Дональд Э. (1998) [1969], Искусство программирования, т. 2 (3-е изд.), С. 145–146, ISBN 978-0-201-89684-8.
• Хакбуш, Вольфганг (2012), Тензорные пространства и численное тензорное исчисление, Springer, стр. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.