WikiDer > Автономная система (математика)

Autonomous system (mathematics)

В математика, автономная система или же автономное дифференциальное уравнение это система из обыкновенные дифференциальные уравнения который не зависит явно от независимая переменная. Когда переменная - время, их также называют инвариантные во времени системы.

Многие законы в физика, где обычно предполагается, что независимая переменная равна время, выражаются как автономные системы, поскольку предполагается, что законы природы которые действуют сейчас, идентичны таковым для любой точки в прошлом или будущем.

Автономные системы тесно связаны с динамические системы. Любую автономную систему можно превратить в динамическую.[нужна цитата] и, используя очень слабые предположения[нужна цитата], динамическая система может быть преобразована в автономную систему[нужна цитата].

Определение

An автономная система это система обыкновенных дифференциальных уравнений формы

куда Икс принимает значения в п-размерный Евклидово пространство; т часто интерпретируется как время.

Он отличается от систем дифференциальных уравнений вида

в котором закон эволюции системы нет зависят не только от текущего состояния системы, но и от параметра т, также часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными.

Характеристики

Позволять быть уникальным решением проблема начального значения для автономной системы

.

потом решает

.

Действительно, обозначая у нас есть и , таким образом

.

Для начального условия проверка тривиальна,

.

Пример

Уравнение автономна, так как независимая переменная, назовем ее , не появляется в уравнении явно. Чтобы построить поле склонов и изоклина для этого уравнения можно использовать следующий код в GNU Octave/MATLAB

Ffun = @(Икс, Y)(2 - Y) .* Y; % функция f (x, y) = (2-y) y[Икс, Y] = сетка(0:.2:6, - 1:.2:3); % выберите размеры участкаDY = Ffun(Икс, Y); DX = те(размер(DY)); % генерировать значения графикаколчан(Икс, Y, DX, DY, 'k'); % отобразить поле направления черным цветомдержать на;контур(Икс, Y, DY, [0 1 2], 'грамм'); % добавить изоклины (0 1 2) зеленым цветомзаглавие('Поле наклона и изоклины для f (x, y) = (2-y) y')

Из графика видно, что функция является -инвариантна, как и форма решения, т.е. за любую смену .

Решая уравнение символически в MATLAB, запустив

у = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'Икс'); % решить уравнение символически

получаем два равновесие решения, и , и третье решение с неизвестной константой ,

у(3) = - 2 / (exp(C3 - 2 * Икс) - 1)

Подбирая некоторые конкретные значения для начальное состояние, мы можем добавить график нескольких решений

y1 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (1) = 1', 'Икс'); % решить задачу начального значения символическиy2 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (2) = 1', 'Икс'); % для разных начальных условийy3 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (3) = 1', 'Икс'); y4 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (1) = 3', 'Икс');y5 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (2) = 3', 'Икс'); y6 = dsolve('Dy = (2-y) * y', 'у (3) = 3', 'Икс');ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); % построить решенияezplot(y3, [0 6]); ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);заглавие('Поле наклона, изоклины и решения для f (x, y) = (2-y) y')легенда('Поле уклона', 'Изоклины', 'Решения y_ {1..6}');текст([1 2 3], [1 1 1], strcat(' leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));текст([1 2 3], [3 3 3], strcat(' leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));сетка на;
Поле откосов с изоклинами и решениями

Качественный анализ

Автономные системы можно качественно проанализировать с помощью фазовое пространство; в случае одной переменной это фазовая линия.

Методы решения

Следующие методы применимы к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка эквивалентен -мерная система первого порядка (как описано в Обыкновенное дифференциальное уравнение # Сведение к системе первого порядка), но не обязательно наоборот.

Первый заказ

Автономное уравнение первого порядка

является отделяемый, поэтому ее легко решить, перейдя в интегральную форму

Второго порядка

Автономное уравнение второго порядка

сложнее, но это решаемо[1] введя новую переменную

и выражая вторая производная из (через Правило цепи) в качестве

так что исходное уравнение становится

которое является уравнением первого порядка, не содержащим ссылки на независимую переменную и если решено обеспечивает как функция . Затем, вспоминая определение :

что является неявным решением.

Особый случай: Икс'' = ж(Икс)

Частный случай, когда не зависит от

пользу от раздельного лечения.[2] Эти типы уравнений очень распространены в классическая механика потому что они всегда Гамильтоновы системы.

Идея состоит в том, чтобы использовать личность (за исключением деление на ноль вопросы)

что следует из Правило цепи. Отметим в стороне, что, инвертируя обе стороны автономной системы первого порядка, можно немедленно интегрировать относительно :

Это еще один способ взглянуть на технику разделения переменных. Тогда возникает естественный вопрос: можем ли мы сделать что-то подобное с уравнениями более высокого порядка? Ответ положительный для уравнений второго порядка, но есть над чем поработать. Вторая производная должна быть выражена как производная по отношению к вместо :

Еще раз подчеркнем: было достигнуто то, что вторая производная в был выражен как производная от . Затем исходное уравнение второго порядка может быть окончательно интегрировано:

Это неявное решение, и помимо этого самая большая потенциальная проблема заключается в невозможности упростить интегралы, что подразумевает трудность или невозможность вычисления постоянных интегрирования.

Особый случай: Икс'' = Икс'п ж(Икс)

Используя вышеупомянутый менталитет, мы можем расширить эту технику до более общего уравнения

куда - некоторый параметр, не равный двум. Это будет работать, поскольку вторая производная может быть записана в форме, включающей степень . Переписываем вторую производную, переставляем и выражаем левую часть как производную:

Право будет нести +/-, если даже. Лечение должно быть другим, если :

Высшие порядки

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего и более высокого порядка не существует. Такие уравнения могут быть решены точно, только если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например линейность или зависимость правой части уравнения только от зависимой переменной[3][4] (т.е. не его производные). Это не должно вызывать удивления, учитывая, что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут действительно создавать хаотичный поведение, такое как Аттрактор Лоренца и Аттрактор Рёсслера.

При таком менталитете также неудивительно, что общие неавтономные уравнения второго порядка не могут быть решены явно, поскольку они также могут быть хаотическими (примером этого является периодически принудительный маятник[5]).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Бойс, Уильям Э .; Ричард С. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи объема (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 133. ISBN 0-471-43338-1.
  2. ^ Автономное уравнение второго порядка в eqworld.
  3. ^ Автономное уравнение третьего порядка в eqworld.
  4. ^ Автономное уравнение четвертого порядка в eqworld.
  5. ^ Бланшар; Девани; Холл (2005). Дифференциальные уравнения. Brooks / Cole Publishing Co., стр. 540–543. ISBN 0-495-01265-3.