WikiDer > Теоремы об изменении базы - Википедия

В математике теоремы об замене базы связать прямое изображение и отступление из снопы. Точнее, они касаются карты изменения базы, представленной следующим естественная трансформация связок:

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) to R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

куда

${ displaystyle { begin {array} {rcl} X '& { stackrel {g'} { to}} & X f ' downarrow && downarrow f S' & { stackrel {g} { to}} & S end {массив}}}$

это Декартов квадрат топологических пространств и ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это связка на Икс.

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по существу произвольных) топологических пространств и собственных отображений ж, в алгебраическая геометрия для (квази) когерентных пучков и ж правильный или грамм квартира, аналогично в аналитическая геометрия, но и для этальные снопы за ж правильный или грамм гладкий.

Вступление

Простое явление изменения базы возникает в коммутативная алгебра когда А это коммутативное кольцо и B и А ' два А-алгебры. Позволять ${ displaystyle B '= B otimes _ {A} A'}$. В этой ситуации, учитывая B-модуль M, существует изоморфизм ( А ' -модули):

${ displaystyle (M otimes _ {B} B ') _ {A'} cong (M_ {A}) otimes _ {A} A '.}$

Здесь нижний индекс указывает на забывчивый функтор, т. Е. ${ displaystyle M_ {A}}$ является M, но рассматривается как А-модуль. Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением

${ displaystyle M otimes _ {B} B '= M otimes _ {B} B otimes _ {A} A' cong M otimes _ {A} A '.}$

Таким образом, две операции, а именно забывчивые функторы и тензорные произведения коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Теоремы замены базы, обсуждаемые ниже, являются утверждениями аналогичного типа.

Определение базовой карты изменения

Функторы изображений для пучков
прямое изображение ж∗
обратное изображение ж∗
прямое изображение с компактной опорой ж!
исключительный инверсный образ Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

Все представленные ниже теоремы об замене базы утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений), что следующие карта изменения базы

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) to R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

является изоморфизмом, где

${ displaystyle { begin {array} {rcl} X '& { stackrel {g'} { to}} & X f ' downarrow && downarrow f S' & { stackrel {g} { to}} & S end {массив}}}$

являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами, образующими Декартов квадрат и ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это связка на Икс.^[1] Здесь ${ Displaystyle R ^ {я} е _ {*} { mathcal {F}}}$ обозначает более высокое прямое изображение из ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ под ж, т.е. производный функтор функтора прямого изображения (также известного как pushforward) ${ displaystyle f _ {*}}$.

Эта карта существует без каких-либо предположений о картах ж и грамм. Он построен следующим образом: поскольку ${ displaystyle g '^ {*}}$ является левый смежный к ${ displaystyle g '_ {*}}$, есть естественная карта (называемая единичной картой)

${ displaystyle operatorname {id} to g '_ {*} circ g' ^ {*}}$

и так

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} to R ^ {r} f _ {*} circ g '_ {*} circ g' ^ {*}.}$

В Спектральная последовательность Гротендика затем дает первую карту и последнюю карту (они являются краевыми картами) в:

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} circ g '_ {*} circ g' ^ {*} to R ^ {r} (f circ g ') _ {*} circ g' ^ {*} = R ^ {r} (g circ f ') _ {*} circ g' ^ {*} to g _ {*} circ R ^ {r} f '_ {*} circ g '^ {*}.}$

В сочетании с вышеуказанными доходами

${ displaystyle R ^ {r} f _ {*} to g _ {*} circ R ^ {r} f '_ {*} circ g' ^ {*}.}$

Используя сопряженность ${ displaystyle g ^ {*}}$ и ${ displaystyle g _ {*}}$ наконец дает желаемую карту.

Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (B), S = operatorname {Spec} (A), S '= operatorname {Spec} (A')}$ и следовательно, ${ displaystyle X '= operatorname {Spec} (B')}$, а квазикогерентный пучок ${ Displaystyle { mathcal {F}}: = { тильда {M}}}$ связаны с B-модуль M.

Концептуально удобно организовать приведенные выше карты изменения базы, которые включают только один более высокий функтор прямого изображения, в одну, которая кодирует все ${ displaystyle R ^ {r} f _ {*}}$ вовремя. Фактически, аналогичные аргументы, приведенные выше, дают карту в производная категория пучков на S ':

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {*} ({ mathcal {F}}) to Rf '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal {F}})}$

куда ${ displaystyle Rf _ {*}}$ обозначает (тотальный) производный функтор от ${ displaystyle f _ {*}}$.

Общая топология

Правильная смена базы

Если Икс это Хаусдорф топологическое пространство, S это локально компактный Пространство Хаусдорфа и ж универсально замкнуто (т. е. ${ displaystyle X times _ {S} T to T}$ это закрытая карта для любой непрерывной карты ${ displaystyle T to S}$), то карта изменения базы

${ displaystyle g ^ {*} R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}} to R ^ {r} f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}} }$

является изоморфизмом.^[2] Действительно, имеем: для ${ displaystyle s in S}$,

${ displaystyle (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {s} = varinjlim H ^ {r} (U, { mathcal {F}}) = H ^ {r} (X_ {s}, { mathcal {F}}), quad X_ {s} = f ^ {- 1} (s)}$

и так для ${ displaystyle s = g (t)}$

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {t} = H ^ {r} (X_ {s}, { mathcal {F}}) = H ^ {r} (X '_ {t}, g' ^ {*} { mathcal {F}}) = R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal {F}}) _ {t}.}$

Для кодирования всех отдельных высших производных функторов ${ displaystyle f _ {*}}$ в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта изменения базы

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {*} { mathcal {F}} to Rf '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$

это квазиизоморфизм.

Предположение о хаусдорфовости рассматриваемых пространств было ослаблено Schnürer & Soergel (2016).

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на когомологии неабелевых пучков, т.е. пучки, принимающие значения в симплициальные множества (в отличие от абелевых групп).^[3]

Прямое изображение с компактной опорой

Если карта ж не замкнуто, карта смены базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

${ displaystyle { begin {array} {rcl} emptyset & { stackrel {g '} { to}} & mathbb {C} setminus {0 } f' downarrow && downarrow f {0 } & { stackrel {g} { to}} & mathbb {C} end {array}}}$

Один с одной стороны ${ displaystyle f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$ всегда равно нулю, но если ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это локальная система на ${ Displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$ соответствующий представление из фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ (который изоморфен Z), тогда ${ Displaystyle г ^ {*} е _ {*} { mathcal {F}}}$ можно вычислить как инварианты из монодромия действие ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$ на стебель ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ (для любого ${ Displaystyle х neq 0}$), которые не обязательно исчезают.

Чтобы получить результат замены базы, функтор ${ displaystyle f _ {*}}$ (или его производный функтор) необходимо заменить на прямое изображение с компактной опорой ${ displaystyle Rf_ {!}}$. Например, если ${ displaystyle f: X to S}$ является включением открытого подмножества, такого как в приведенном выше примере, ${ displaystyle Rf _ {!} { mathcal {F}}}$ является продолжением нулем, т. е. его стебли имеют вид

${ displaystyle (Rf _ {!} { mathcal {F}}) _ {s} = { begin {cases} { mathcal {F}} _ {s} & s in X, 0 & s notin X. end {case}}}$

В общем есть карта ${ displaystyle Rf _ {!} { mathcal {F}} to Rf _ {*} { mathcal {F}}}$, который является квазиизоморфизмом, если ж правильно, но не в целом. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм^[4]

${ displaystyle g ^ {*} Rf _ {!} { mathcal {F}} to Rf '_ {!} g' ^ {*} { mathcal {F}}.}$

Замена базы для квазикогерентных пучков

Правильная смена базы

Правильные теоремы об изменении базы за квазикогерентные пучки применять в следующей ситуации: ${ displaystyle f: X to S}$ это правильный морфизм между нётерские схемы, и ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это связный пучок который плоский над S (т.е. ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ является плоский над ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S, f (x)}}$). В этой ситуации верны следующие утверждения:^[5]

• «Теорема полунепрерывности»:
  • Для каждого ${ displaystyle p geq 0}$, функция ${ displaystyle s mapsto dim _ {k (s)} H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s}): S to mathbb {Z}}$ верхний полунепрерывный.
  • Функция ${ Displaystyle s mapsto chi ({ mathcal {F}} _ {s})}$ локально постоянна, где ${ Displaystyle чи ({ mathcal {F}})}$ обозначает Эйлерова характеристика.
• "Грауэрттеорема ": если S сводится и соединяется, то для каждого ${ displaystyle p geq 0}$ следующие эквивалентны
  • ${ displaystyle s mapsto dim _ {k (s)} H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$ постоянно.
  • ${ Displaystyle R ^ {p} е _ {*} { mathcal {F}}}$ локально бесплатно и естественная карта

${ displaystyle R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) to H ^ {p} (X_ {s }, { mathcal {F}} _ {s})}$

является изоморфизмом для всех ${ displaystyle s in S}$.

Кроме того, если эти условия выполнены, то естественное отображение

${ displaystyle R ^ {p-1} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) to H ^ {p-1} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$

является изоморфизмом для всех ${ displaystyle s in S}$.

• Если для некоторых п, ${ displaystyle H ^ {p} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s}) = 0}$ для всех ${ displaystyle s in S}$, то естественное отображение

${ displaystyle R ^ {p-1} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} k (s) to H ^ {p-1} (X_ {s}, { mathcal {F}} _ {s})}$

является изоморфизмом для всех ${ displaystyle s in S}$.

Поскольку стебель связки ${ Displaystyle R ^ {p} е _ {*} { mathcal {F}}}$ тесно связана с когомологиями слоя точки под ж, это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с расширением базы».^[6]

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где в дополнение к сделанным выше предположениям ${ displaystyle S = operatorname {Spec} A}$: существует конечный комплекс ${ Displaystyle 0 к К ^ {0} к К ^ {1} к cdots к К ^ {п} к 0}$ из конечно порожденный проективный А-модули и естественный изоморфизм функторов

${ displaystyle H ^ {p} (X times _ {S} operatorname {Spec} -, { mathcal {F}} otimes _ {A} -) to H ^ {p} (K ^ { bullet} otimes _ {A} -), p geq 0}$

по категории ${ displaystyle A}$-алгебры.

Смена плоского основания

Карта изменения базы

${ displaystyle g ^ {*} (R ^ {r} f _ {*} { mathcal {F}}) to R ^ {r} f '_ {*} (g' ^ {*} { mathcal { F}})}$

является изоморфизмом для квазикогерентный пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ (на ${ displaystyle X}$) при условии, что карта ${ displaystyle g: S ' rightarrow S}$ является плоский (вместе с рядом технических условий: ж должен быть отделенный морфизм конечного типа, задействованные схемы должны быть нётерскими).^[7]

Изменение плоской базы в производной категории

При рассмотрении карты изменения базы возможно далеко идущее расширение плоского базового изменения.

${ displaystyle Lg ^ {*} Rf _ {*} ({ mathcal {F}}) to Rf '_ {*} (Lg' ^ {*} { mathcal {F}})}$

в производной категории пучков на S ', аналогично указанному выше. Здесь ${ displaystyle Lg ^ {*}}$ является (полным) производным функтором обратного преобразования ${ displaystyle { mathcal {O}}}$-модули (потому что ${ displaystyle g ^ {*} { mathcal {G}} = { mathcal {O}} _ {X} otimes _ {g ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S}} g ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ включает тензорное произведение, ${ displaystyle g ^ {*}}$ не совсем то, когда грамм не плоский и, следовательно, не равен производному функтору ${ displaystyle Lg ^ {*}}$Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий:^[8]

• ${ displaystyle S}$ квазикомпактен и ${ displaystyle f}$ квазикомпактен и квази разделен,
• ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ это объект в ${ displaystyle D ^ {b} ({ mathcal {O}} _ {X} { text {-mod}})}$, ограниченная производная категория ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули и его когомологические пучки квазикогерентны (например, ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
• ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle S '}$ находятся Tor-независимый над ${ displaystyle S}$, что означает, что если ${ displaystyle x in X}$ и ${ displaystyle s ' in S'}$ удовлетворить ${ Displaystyle е (х) = s = g (s ')}$, то для всех целых чисел ${ displaystyle p geq 1}$,

${ displaystyle operatorname {Tor} _ {p} ^ {{ mathcal {O}} _ {S, s}} ({ mathcal {O}} _ {X, x}, { mathcal {O}} _ {S ', s'}) = 0}$.

• Выполняется одно из следующих условий:
  • ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно ${ displaystyle f}$, что означает, что он квазиизоморфен в ${ Displaystyle D ^ {-} (е ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S} { text {-mod}})}$ в комплекс ${ displaystyle { mathcal {F}} '}$ такой, что ${ Displaystyle ({ mathcal {F}} ') ^ {я}}$ является ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S}}$-квартира для всех ${ displaystyle i}$ вне некоторого ограниченного интервала ${ Displaystyle [м, п]}$; эквивалентно, существует интервал ${ Displaystyle [м, п]}$ такой, что для любого комплекса ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ в ${ Displaystyle D ^ {-} (е ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {S} { text {-mod}})}$, надо ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}}) = 0}$ для всех ${ displaystyle i}$ за пределами ${ Displaystyle [м, п]}$; или же
  • ${ displaystyle g}$ имеет конечную Tor-размерность, что означает, что ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {S '}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно ${ displaystyle g}$.

Одно из преимуществ этой формулировки состоит в том, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется Спектральная последовательность Гротендика.

Базовое изменение в производной алгебраической геометрии

Производная алгебраическая геометрия дает возможность отказаться от предположения о плоскостности при условии, что откат ${ displaystyle X '}$ заменяется гомотопический откат. В самом простом случае, когда Икс, S, и ${ displaystyle S '}$ являются аффинными (с обозначениями, как выше), гомотопический отклик задается полученный тензорное произведение

${ displaystyle X '= operatorname {Spec} (B' otimes _ {B} ^ {L} A)}$

Затем, предполагая, что используемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) являются квазикомпактными и квазиразделенными, естественное преобразование

${ displaystyle Lg ^ {*} Rf _ {*} { mathcal {F}} to Rf '_ {*} Lg' ^ {*} { mathcal {F}}}$

это квазиизоморфизм для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, сложный квазикогерентных пучков.^[9]Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для грамм плоский откат гомотопии (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным откатом (локально задается не производным тензорным произведением), и поскольку откат вдоль плоских карт грамм и грамм' автоматически выводятся (т. е. ${ Displaystyle Lg ^ {*} = г ^ {*}}$). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме об изменении базы, также становятся ненужными.

В приведенной выше форме базовое изменение было расширено на Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010) к ситуации, когда Икс, S, и S ' (возможно, производные) стекипри условии, что карта ж идеальная карта (включая случай, когда ж представляет собой квазикомпактное квазиразделенное отображение схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG из алгебраическая группа в нулевой характеристике).

Варианты и приложения

Правильное изменение базы также имеет место в контексте комплексные многообразия.^[10]В теорема о формальных функциях - вариант правильного изменения базы, где откат заменяется на завершение операция.

В принцип качелей и теорема куба, которые являются основополагающими фактами в теории абелевы разновидности, являются следствием правильного изменения базы.^[11]

Замена базы также выполняется для D-модули: если Икс, S, ИКС', и S ' гладкие разновидности (но ж и грамм не обязательно должен быть плоским или правильным и т. д.), существует квазиизоморфизм

${ displaystyle g ^ { dagger} int _ {f} { mathcal {F}} to int _ {f '} g' ^ { dagger} { mathcal {F}},}$

куда ${ displaystyle - ^ { dagger}}$ и ${ displaystyle int}$ обозначим функторы обратного и прямого изображения для D-модули.^[12]

Замена базы эталонных шкивов

За étale торсионные шкивы ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, есть два результата изменения базы, называемые правильный и плавная смена базысоответственно: замена базы выполняется, если ${ displaystyle f: X rightarrow S}$ является правильный.^[13] Это также верно, если грамм является гладкий, при условии, что ж квазикомпактен и при кручении ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ первичен к характеристика из поля остатков из Икс.^[14]

С правильной заменой базы тесно связан следующий факт (две теоремы обычно доказываются одновременно): пусть Икс быть разнообразным сепарабельно замкнутое поле и ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ а конструктивная связка на ${ displaystyle X _ { text {et}}}$. потом ${ Displaystyle Н ^ {г} (Х, { mathcal {F}})}$ конечны в каждом из следующих случаев:

• Икс завершено, или
• ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ не имеет п-кручение, где п это характеристика k.

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространена теорема о замене собственной базы на этальные пучки без кручения.

Приложения

По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, отображение изменения базы для открытое погружение ж,

${ displaystyle g ^ {*} f _ {*} { mathcal {F}} to f '_ {*} g' ^ {*} { mathcal {F}}}$

обычно не является изоморфизмом.^[15] Вместо этого продление на ноль функтор ${ displaystyle f_ {!}}$ удовлетворяет изоморфизму

${ displaystyle g ^ {*} f _ {!} { mathcal {F}} to f '_ {!} g ^ {*} { mathcal {F}}.}$

Этот факт и правильное изменение базы предлагают определить Функтор прямого изображения с компактной опорой для карты ж к

${ displaystyle Rf _ {!}: = Rp _ {*} j_ {!}}$

куда ${ displaystyle f = p circ j}$ это компактификация из ж, т. е. факторизация в открытое погружение с последующим правильным отображением. Правильная теорема о замене базы нужна, чтобы показать, что это корректно определено, т. е. не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. аналогично случаю пучков на топологическом пространстве формула замены базы для ${ displaystyle g _ {*}}$ против. ${ displaystyle Rf_ {!}}$ действительно для несобственных карт ж.

Для структурной карты ${ displaystyle f: X to S = operatorname {Spec} k}$ схемы над полем k, отдельные когомологии ${ displaystyle Rf _ {!} ({ mathcal {F}})}$, обозначаемый ${ displaystyle H_ {c} ^ {*} (X, { mathcal {F}})}$ упоминается как когомологии с компактным носителем. Это важный вариант обычного этальные когомологии.

Подобные идеи используются и для построения аналога функтора ${ displaystyle Rf_ {!}}$ в А¹-гомотопическая теория.^[16][17]

Смотрите также

• Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии
• Смена базы (значения)
• Подъем смена базы автоморфных форм

дальнейшее чтение

• Esnault, H .; Kerz, M .; Виттенберг, О. (2016), Изоморфизм ограничения для циклов относительной размерности нуль, arXiv:1503.08187v2

Примечания

Рекомендации

• Артин, Майкл; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF), Конспект лекций по математике (на французском языке), 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. vi + 640, Дои:10.1007 / BFb0070714, ISBN 978-3-540-06118-2
• Бен-Цви, Давид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Soc., 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, Дои:10.1090 / S0894-0347-10-00669-7, МИСТЕР 2669705
• Бертело, Пьер; Гротендик, Александр; Иллюзи, Люк (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, xii + 700, Дои:10.1007 / BFb0066283, ISBN 978-3-540-05647-8
• Денингер, Кристофер (1988), "Правильная теорема о замене базы для пучков без кручения в этальных когомологиях", Журнал чистой и прикладной алгебры, 50 (3): 231–235, Дои:10.1016/0022-4049(88)90102-8
• Габбер "«Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем"
• Грауэрт, Ганс (1960), "Теорема Эйна об аналитической Гарбентеории и модульной комплексной структуре" (PDF), Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 5, Zbl 0100.08001
• Гротендик, А. (1963), "Éléments de géométrie algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II", Publ. Математика. IHES, заархивировано из оригинал на 2017-01-05, получено 2017-01-04
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157, OCLC 13348052
• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D-Модули, извращенные пучки и теория представлений, Биркхойзер
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, МИСТЕР 0842190
• Лурье, Джейкоб (2009), Теория высших топосов, Анналы математических исследований, 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT / 0608040, Дои:10.1515/9781400830558, ISBN 978-0-691-14049-0, МИСТЕР 2522659
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы разновидности, Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, 5, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-81-85931-86-9, МИСТЕР 0282985, OCLC 138290
• Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы, arXiv:1210.2827, Bibcode:2012arXiv1210.2827T
• Schnürer, O.M .; Soergel, W. (2016), "Правильная замена базы для отдельных локально правильных карт", Ренд. Семин. Мат. Univ. Падуя, 135: 223–250, arXiv:1404.7630v2, Дои:10.4171 / RSMUP / 135-13
• Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

внешняя ссылка

• Рекламный проспект Брайана Конрада
• Проблема с полунепрерывностью