WikiDer > Симплициальный набор

Simplicial set

В математика, а симплициальный набор это объект, состоящий из «симплексов» определенным образом. Симплициальные множества являются многомерными обобщениями ориентированные графы, частично упорядоченные наборы и категории. Формально симплициальное множество можно определить как контравариантный функтор от категория симплекс к категория наборов. Симплициальные множества были введены в 1950 г. Сэмюэл Эйленберг и Дж. А. Зильбер.[1]

Можно рассматривать симплициальное множество как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для улавливания понятия "хорошо воспитанный" топологическое пространство Для целей теория гомотопии. В частности, категория симплициальных множеств обладает естественным структура модели, а соответствующие гомотопическая категория эквивалентна известной гомотопической категории топологических пространств.

Симплициальные множества используются для определения квазикатегории, основное понятие теория высших категорий. Построение, аналогичное конструкции симплициальных множеств, может быть выполнено в любой категории, а не только в категории множеств, что дает понятие симплициальные объекты.

Мотивация

Симплициальное множество - это категориальная (то есть чисто алгебраическая) модель, охватывающая те топологические пространства, которые могут быть построены (или точно представлены с точностью до гомотопии) из симплексы и их отношения инцидентности. Это похоже на подход Комплексы CW к моделированию топологических пространств с той важной разницей, что симплициальные множества являются чисто алгебраическими и не несут никакой фактической топологии.

Чтобы вернуться к актуальным топологическим пространствам, есть геометрическая реализация функтор что превращает симплициальные множества в компактно порожденные хаусдорфовы пространства. Наиболее классические результаты по комплексам CW в теория гомотопии обобщаются аналогичными результатами для симплициальных множеств. В то время как алгебраические топологи по-прежнему предпочитают комплексы CW, растет контингент исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных множеств для приложений в алгебраическая геометрия где комплексов CW в природе не существует.

Интуиция

Симплициальные множества можно рассматривать как многомерное обобщение направленные мультиграфы. Симплициальный набор содержит вершины (известные в данном контексте как «0-симплексы») и стрелки («1-симплексы») между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, также разрешены направленные петли, которые соединяют вершину с самой собой. В отличие от ориентированных мультиграфов, симплициальные множества могут также содержать высшие симплексы. Например, 2-симплекс можно рассматривать как двумерную «треугольную» форму, ограниченную списком из трех вершин. А, B, C и три стрелы B → C, А → C и А → B. В целом п-simplex - это объект, составленный из списка п + 1 вершина (которые являются 0-симплексами) и п + 1 лица (которые (п - 1) -симплексы). Вершины я-я грань - это вершины п-симплекс минус я-я вершина. Вершины симплекса не обязательно должны быть различными, и симплекс не определяется своими вершинами и гранями: два разных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), точно так же, как две разные стрелки в мультиграфе могут соедините те же две вершины.

Симплициальные множества не следует путать с абстрактные симплициальные комплексы, которые обобщают простые неориентированные графы а не направленные мультиграфы.

Формально симплициальное множество Икс это набор наборов Иксп, п = 0, 1, 2, ..., вместе с некоторыми отображениями между этими множествами: карты лица dп,я : Иксп → Иксп−1 (п = 1, 2, 3, ... и 0 ≤я ≤ п) и карты вырождения sп,я : ИкспИксп+1 (п = 0, 1, 2, ... и 0 ≤я ≤ п). Мы думаем об элементах Иксп как п-просты Икс. Карта dп,я присваивает каждому такому п-просто его я-я грань, грань "противоположная" (т.е. не содержащая) я-я вершина. Карта sп,я присваивает каждому п-просто вырожденный (п+1) -симплекс, который возникает из заданного путем дублирования я-я вершина. Это описание неявно требует определенных соотношений согласованности между отображениями dп,я и sп,я. Вместо того, чтобы требовать этих симплициальные тождества явно как часть определения, короткое и элегантное современное определение использует язык теория категорий.

Формальное определение

Обозначим через Δ категория симплекс. Объектами ∆ являются непустые линейно упорядоченные множества вида

[п] = {0, 1, ..., п}

с п≥0. Морфизмы в Δ являются (нестрого) сохраняющими порядок функциями между этими множествами.

А симплициальный набор Икс это контравариантный функтор

Икс : Δ → Набор

где Набор это категория наборов. (Альтернативно и эквивалентно можно определить симплициальные множества как ковариантные функторы от противоположная категория Δop к Набор.) Таким образом, симплициальные множества суть не что иное, как предварительные пучки на Δ. Учитывая симплициальное множество ИКС, мы часто пишем Иксп вместо того Икс([п]).

Симплициальные множества образуют категорию, обычно обозначаемую sSet, объекты которого являются симплициальными множествами, а морфизмы естественные преобразования между ними.

Если мы рассмотрим ковариантный функторы Икс : Δ → Набор вместо контравариантных мы приходим к определению косимплициальный набор. Соответствующая категория косимплициальных множеств обозначается через cSet.

Карты лиц и вырождения

Симплексная категория Δ порождается двумя особо важными семействами морфизмов (отображений), образы которых при заданном функторе симплициального множества называются карты лица и карты вырождения этого симплициального множества.

В карты лица симплициального множества Икс являются изображениями в этом симплициальном множестве морфизмов , где единственная (сохраняющая порядок) инъекция что "промахивается" Обозначим эти карты граней через соответственно, так что это карта . Если первый индекс ясен, мы пишем вместо того .

В карты вырождения симплициального множества Икс являются изображениями в этом симплициальном множестве морфизмов , где единственная (сохраняющая порядок) сюръекция что "бьет" дважды. Обозначим эти отображения вырождения через соответственно, так что это карта . Если первый индекс ясен, мы пишем вместо того .

Определенные карты удовлетворяют следующим условиям симплициальные тождества:

  1. если я < j. (Это сокращение от если 0 ≤ я < jп.)
  2. если я < j.
  3. если я = j или я = j + 1.
  4. если я > j + 1.
  5. если яj.

Наоборот, если дана последовательность множеств Иксп вместе с картами и удовлетворяющие симплициальным тождествам, существует единственное симплициальное множество Икс который имеет эти лица и карты вырождения. Таким образом, тождества предоставляют альтернативный способ определения симплициальных множеств.

Примеры

Учитывая частично заказанный набор (S, ≤), можно определить симплициальное множество NS, то нерв из S, а именно: для каждого объекта [п] матрицы Δ положим NS([п]) = homпо-сет( [п] , S) сохраняющие порядок отображения из [п] к S. Каждый морфизм φ: [п]→[м] в Δ является отображением, сохраняющим порядок, и посредством композиции индуцирует отображение NS(φ): NS([м]) → NS([п]). Несложно проверить, что NS - контравариантный функтор из Δ в Набор: симплициальное множество.

Конкретно п-просты нерва NS, т.е. элементы NSп=NS([п]), можно представить себе упорядоченную длину - (п+1) последовательности элементов из S: (а0 ≤ а1 ≤ ... ≤ ап). Карта лица dя бросает я-й элемент из такого списка, и карты вырождения sя дублирует я-й элемент.

Подобное построение можно выполнить для каждой категории. C, чтобы получить нерв NC из C. Вот, NC([п]) - множество всех функторов из [п] к C, где мы рассматриваем [п] как категория с объектами 0,1, ...,п и единый морфизм из я к j всякий раз, когда я ≤ j.

Конкретно п-просты нерва NC можно рассматривать как последовательность п составные морфизмы в C: а0 → а1 → ... → ап. (В частности, 0-симплексы являются объектами C а 1-симплексы - это морфизмы C.) Карта лица d0 отбрасывает первый морфизм из такого списка, карта лица dп отбрасывает последний, и карта лица dя для 0 <я < п капли ая и составляет яth и (я +1) -й морфизм. Карты вырождения sя удлинить последовательность, вставив морфизм идентичности в позициюя.

Мы можем восстановить позет S от нерва NS и категория C от нерва NC; в этом смысле симплициальные множества обобщают наборы и категории.

Другой важный класс примеров симплициальных множеств - это особое множество SY топологического пространства Y. Здесь SYп состоит из всех непрерывных отображений из стандартных топологических п-просто для Y. Особое множество более подробно объясняется ниже.

Стандарт п-симплекс и категория симплексов

В стандарт п-суплекс, обозначим Δп, является симплициальным множеством, определяемым как функтор homΔ(-, [п]) куда [п] обозначает упорядоченный набор {0, 1, ...,п} первого (п + 1) неотрицательные целые числа. (Во многих текстах оно пишется как hom ([п], -) где гоммножество понимается как находящееся в противоположной категории ∆op.[2])

Посредством Лемма Йонеды, то п-симплексы симплициального множества Икс стоят в 1–1 соответствии с естественными преобразованиями из ∆п к ИКС, т.е. .

Более того, Икс рождает категория симплексов, обозначаемый , объектами которого являются карты (т.е. естественные преобразования) ΔпИкс и морфизмами которых являются естественные преобразования ∆п → Δм над Икс вытекающие из карт [п] [м] в Δ. Это, это категория срезов Δ над Икс. В следующий изоморфизм показывает, что симплициальное множество Икс это копредел его симплексов:[3]

где копредел берется по категории симплексов Икс.

Геометрическая реализация

Есть функтор | • |: sSet CGHaus называется геометрическая реализация взятие симплициального множества Икс соответствующей реализации в категории компактно порожденный Хаусдорфовы топологические пространства. Интуитивно осознание Икс топологическое пространство (на самом деле CW комплекс) получается, если каждые н-симплекс Икс заменяется топологическим н-симплекс (определенный н-размерное подмножество (п + 1) -мерное евклидово пространство, определенное ниже), и эти топологические симплексы склеиваются так же, как симплексы Икс поддерживать друг друга. При этом ориентация симплексов Икс потерян.

Чтобы определить функтор реализации, сначала определим его на стандартных n-симплексах Δп следующим образом: геометрическая реализация | Δп| стандартный топологический п-симплекс в общем положении, данное

Тогда определение естественным образом распространяется на любое симплициальное множество Икс установив

| X | = limΔпИкс | Δп|

где копредел берется по n-симплексной категории Икс. Геометрическая реализация функториальна на sSet.

Важно отметить, что мы используем категорию CGHaus компактно порожденных хаусдорфовых пространств, а не категории верхний топологических пространств, как целевая категория геометрической реализации: вроде sSet и в отличие от верхний, категория CGHaus является декартово закрыто; то категориальный продукт определяется по-разному в категориях верхний и CGHaus, и один в CGHaus соответствует одному в sSet через геометрическую реализацию.

Особый набор для пространства

В особый набор топологического пространства Y симплициальное множество SY определяется

(SY)([п]) = homТop(| Δп|, Y) для каждого объекта [п] ∈ Δ.

Всякое сохраняющее порядок отображение φ: [п]→[м] индуцирует непрерывное отображение | Δп| → | Δм| естественным образом, что по составу дает SY(φ) : SY([м]) → SY([п]). Это определение аналогично стандартной идее в особые гомологии «зондирования» целевого топологического пространства стандартными топологическими п-симплексы. Кроме того, сингулярный функтор S является правый смежный к описанному выше функтору геометрической реализации, то есть:

хомверхний(|Икс|, Y) ≅ homsSet(Икс, SY)

для любого симплициального множества Икс и любое топологическое пространство Y. Интуитивно это присоединение можно понимать так: непрерывное отображение геометрической реализации Икс в космос Y однозначно определяется, если мы сопоставим каждому симплексу Икс непрерывное отображение соответствующего стандартного топологического симплекса на Y, таким образом, что эти карты совместимы с тем, как симплексы в Икс поддерживать друг друга.

Гомотопическая теория симплициальных множеств

Чтобы определить структура модели в категории симплициальных множеств необходимо определить расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности. Можно определить расслоения быть Расслоения Кана. Карта симплициальных множеств определяется как слабая эквивалентность если его геометрическая реализация - слабая эквивалентность пространств. Карта симплициальных множеств определяется как кофибрация если это мономорфизм симплициальных множеств. Это трудная теорема Дэниел Квиллен что категория симплициальных множеств с этими классами морфизмов удовлетворяет аксиомам для правильный закрыто категория симплициальной модели.

Ключевой поворотный момент теории состоит в том, что геометрическая реализация расслоения Кана является Расслоение Серра пространств. Имея структуру модели, можно разработать гомотопическую теорию симплициальных множеств, используя стандартные гомотопическая алгебра методы. Кроме того, геометрическая реализация и сингулярные функторы дают Квиллен эквивалентность из закрытые категории моделей индуцирование эквивалентности

|•|: Хо(sSet) ↔ Хо(верхний)

между гомотопическая категория для симплициальных множеств и обычной гомотопической категории CW-комплексов с гомотопическими классами непрерывных отображений между ними. Часть общего определения присоединения Квиллена состоит в том, что правый сопряженный функтор (в данном случае функтор особого множества) переводит расслоения (соответственно тривиальные расслоения) в расслоения (соответственно тривиальные расслоения).

Симплициальные объекты

А симплициальный объект Икс в категории C контравариантный функтор

Икс : Δ → C

или, что то же самое, ковариантный функтор

Икс: ΔopC,

где Δ по-прежнему обозначает категория симплекс. Когда C это категория наборов, мы просто говорим о симплициальных множествах, которые были определены выше. Сдача C быть категория групп или категория абелевых групп, получаем категории sGrp симплициального группы и САБ симплициального абелевы группысоответственно.

Симплициальные группы и симплициальные абелевы группы также несут замкнутые модельные структуры, индуцированные структурой лежащих в основе симплициальных множеств.

Гомотопические группы симплициальных абелевых групп могут быть вычислены с помощью Переписка Дольда – Кана что дает эквивалентность категорий между симплициальными абелевыми группами и ограниченными цепные комплексы и задается функторами

N: САБ → Ch+

и

Γ: Ch+ →  САБ.

История и использование симплициальных множеств

Симплициальные множества изначально использовались для точного и удобного описания классификация пространств из группы. Эта идея была значительно расширена Гротендикидея рассмотрения классификационных пространств категорий, и в частности Quillenработа алгебраическая K-теория. В этой работе, которая принесла ему Медаль ФилдсаКвиллен разработал удивительно эффективные методы манипулирования бесконечными симплициальными множествами. Позже эти методы использовались и в других областях, находящихся на границе алгебраической геометрии и топологии. Например, Гомологии Андре – Квиллена кольца есть «неабелевы гомологии», определяемые и исследуемые таким образом.

Как алгебраическая K-теория, так и гомологии Андре – Квиллена определяются с использованием алгебраических данных для записи симплициального множества, а затем взятия гомотопических групп этого симплициального множества.

Симплициальные методы часто полезны, когда кто-то хочет доказать, что пространство является пространство петли. Основная идея заключается в том, что если группа с классифицирующим пространством , тогда гомотопически эквивалентно пространству петель . Если сам по себе является группой, мы можем повторить процедуру и гомотопически эквивалентен пространству двойной петли . В случае абелева группа, мы можем повторять это бесконечно много раз и получить, что является бесконечным пространством петель.

Даже если не является абелевой группой, может случиться так, что она имеет композицию, которая достаточно коммутативна, так что можно использовать вышеприведенную идею, чтобы доказать, что - бесконечное пространство петель. Таким образом, можно доказать, что алгебраическая -теория кольца, рассматриваемого как топологическое пространство, представляет собой бесконечное пространство петель.

В последние годы симплициальные множества используются в теория высших категорий и производная алгебраическая геометрия. Квазикатегории могут рассматриваться как категории, в которых состав морфизмов определяется только с точностью до гомотопии, а также сохраняется информация о составе высших гомотопий. Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие еще одному условию - слабому условию Кана.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, Дж. А. (1950). «Полусимплициальные комплексы и особые гомологии». Анналы математики. 51 (3): 499–513. Дои:10.2307/1969364. JSTOR 1969364.
  2. ^ Гельфанд и Манин 2013
  3. ^ Goerss & Jardine 1999, п. 7

использованная литература

дальнейшее чтение