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Begrenzte Menge (oben) und unbeschränkte Menge (unten)

Verschiedene Zweige der Mathematik benutze das Adjektiv begrenzt um anzuzeigen, dass ein Objekt endliche Dimensionen hat.

Begrenzte Sammlung

In dem Geometrie heißt Teilmenge ${Anzeigestil V}$ von dem eben oder der Platz begrenzt, wenn es eine Obergrenze gibt ${Anzeigestil D}$ existiert für alle gegenseitigen Abstände zwischen Punkten von ${Anzeigestil V}$:

${displaystyle existiert Din mathbb {R} ,füralle x,yin V:d(x,y)leq D}$

Die Menge solcher Zahlen ${Anzeigestil D}$ bildet eine geschlossene Halblinie, und das Minimum dieser Linie ist Durchmesser von ${Anzeigestil V}$.

Die obige Definition verwendet nicht die spezielle Form der Abstandsfunktion des Euklidischer Raum, und geht somit in zufällige (Pseudo--)metrische Räume.

Begrenzte Funktion

sind alleine Funktion${displaystyle f}$ heiß gefesselt wie haare Wertebereich (Statue) eine beschränkte Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} }$ ist, d.h. wenn es Zahlen gibt ${Anzeigestil m$ existieren damit ${Anzeigestil für alle x:mleq f(x)leq M}$. Das kleinstmögliche Obergrenze${Anzeigestil M}$ heiß höchste von ${displaystyle f}$, die größtmögliche untere Grenze${displaystyle m}$ ist der infimum von ${displaystyle f}$.

Diese Definition der Begrenztheit geht unverändert auf beliebige Bilder zwischen einer Sammlung über ${Anzeigestil A}$ und ein (pseudo)metrisch Platz ${Anzeigestil X}$.

Begrenzte Teilmenge eines topologischen Vektorraums

In einem lokal konvextopologischer Vektorraum die Topologie wird durch eine Trennfamilie erzeugt Halbnormen. Jede Seminorm bringt eine pseudometrische ${Anzeigestil d(x,y)=|x-y|}$ her. In solchen Räumen gelten die folgenden beiden Bedingungen auf einer Teilmenge ${Anzeigestil A}$ Äquivalent:

• ${Anzeigestil A}$ in jedem der pseudometrischen Räume separat begrenzt ist;
• Für jede Umgebung ${Anzeigestil V}$ des Nullvektor existiert eine Skalierungsfaktor${displaystyle alpha in mathbb {R} ^{ }}$ so dass ${displaystyle Asubset alpha V}$.

Die zweite Bedingung macht im Allgemeinen noch Sinn topologische Vektorräume, und wird dort als Begrenzungsdefinition verwendet.

Begrenzter linearer Operator

EIN lineares Bild${Displaystil T:V oder W}$ zwischen zwei topologischen Vektorräumen ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ (Operator) heißt beschränkt, wenn sie beschränkte Teile von enthalten ${Anzeigestil V}$ Karten zu begrenzten Teilen von ${Anzeigestil W}$.

wenn ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$Banach-Räume dann ist dies äquivalent zu der Anforderung, dass ${Anzeigestil T}$kontinuierlich ist. Im Allgemeinen ist jeder stetige lineare Operator beschränkt, aber nicht umgekehrt.

Im Wesentlichen begrenzt

Wenn es Domain einer Funktion die Struktur von a Raum messen${displaystyle (A,{mathcal {A}},mu)}$ trägt, interessiert uns, ob die Funktion "auf a Nullmenge na". Eine Funktion heißt ${displaystyle f:A oder mathbb {C}}$im Wesentlichen begrenzt wenn es eine beschränkte Funktion gibt, auf die sie fast überall gleich:

${displaystyle |f|_{infty}=inf_{Nin {mathcal {A}},mu (N)=0}sup _{omega in Omega setminus N}|f(omega )|$

Der obige Ausdruck heißt wesentliche oberste von ${displaystyle f}$. Das ist es höchste des Absolutwert von ${displaystyle f}$ auf irgendwelchen Nullsätze nach dem. Äquivalenzklassen von im Wesentlichen beschränkten Funktionen bilden den Raum ${displaystyle L^{infty }}$ (sehen LP-Raum).