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Fast überall ist ein Mathematiker Begriff aus dem Maßtheorie, womit gemeint ist: überall außer an einem für die Theorie vernachlässigbaren Teil, a Sammlung von messenNull.Innerhalb einer Sammlung, auf der eine Maßnahme ${Anzeigestil mu}$ definiert ist, ist eine Eigenschaft A also 'fast überall' gültig, wenn

${displaystyle mu {x|{mbox{Eigenschaft A gilt nicht für }}x}=0.,}$

Zum Beispiel ist eine Eigenschaft einer Funktion 'fast überall' gültig, wenn sie insgesamt gültig ist Domain der Funktion mit Ausnahme einer Menge von Maß 0. Vor allem im Integralrechnung ist oft nicht notwendig, damit eine Eigenschaft überall gültig ist, aber es reicht aus, wenn die Eigenschaft „fast überall“ gültig ist, denn die Integral- einer Funktion über einen Bereich von Maß 0 ist 0.

In dem Wahrscheinlichkeit können wir auch schreiben

${displaystyle P{x|{mbox{Eigenschaft A gilt für }}x}=1.,}$

Dies nennt man "A ist Fast sicher" oder "A gilt mit Gelegenheit 1".

Beispiele

• Die Funktion, die reelle Zahlen auf ihre abbildet Absolutwert

${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R} :xmapsto |x|}$

ist fast überall differenzierbar; nur der Punkt 0 ist eine Ausnahme

• Das Anzeigefunktion des Rationale Zahlen (diese Funktion ist 1 in den rationalen Zahlen und 0 an anderer Stelle) ist fast überall gleich 0 (weil ${displaystyle mathbb {Q} }$ hat Größe 0)
• Wenn zwei Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$Lebesgue integrierbar sein, und ${Anzeigestil f(x)=g(x)}$ fast überall, dann:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),{m {d}}x=int _{a}^{b}g(x),{m {d}}x}$.

• Eine beschränkte Funktion ${displaystyle f}$ ist Riemann integrierbardann und nur dann, wenn${displaystyle f}$ fast überall kontinuierlich ist.
• Der Weg der braunes Uhrwerk ist zu fast allen Zeitpunkten stetig und zu fast allen Zeitpunkten nicht differenzierbar.