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Buigpunt

In dem Analyse ist ein Wendepunkt einer Kurve ein Punkt auf der Kurve, an dem sich die Krümmung in der Natur ändert. Die Form der Kurve ändert sich von konkav (konkav) in Kugel (konvex) oder umgekehrt.

Charakterisierung

Beispiel einer Kurve mit Wendepunkt

In einem Wendepunkt repräsentieren wir die Kurve lokal durch die Funktion ${Anzeigestil f.}$ Ist die Kurve der Graph einer Funktion, dann geben wir sie auch weiter ${displaystyle f}$ Auf. Im Wendepunkt ist ${displaystyle f}$ auf jeden fall differenzierbar. Abhängig von der weiteren Unterscheidbarkeit von ${displaystyle f}$ im Wendepunkt kann ein Wendepunkt wie folgt charakterisiert werden:

am Wendepunkt schneidet sich Tangente die Kurve;
im Wendepunkt erreicht die Derivat von ${displaystyle f}$ ein Extremum.

Existiert auch die zweite Ableitung, lässt sich diese letzte Bedingung auch so formulieren:

im Wendepunkt die Veränderungen zweite Ableitung von ${displaystyle f}$ des Vorzeichens (schließlich zeigt das Vorzeichen der zweiten Ableitung die Krümmung an).

Ein Wendepunkt kann a . sein stationären Punkt auf dem Graphen einer Funktion sein, aber in einem Wendepunkt ist eine Funktion nie extrem.

Die obigen Charakterisierungen geben den Weg an, auf dem Wendepunkte verfolgt werden können.

Falls die Funktion oft genug differenzierbar ist, ist die Forderung, dass das Vorzeichen der zweiten Ableitung um diesen Punkt herum das Vorzeichen ändert, äquivalent zu der Forderung, dass die erste von 0 eine andere Ableitung ungerader Ordnung sein muss (dritte, fünfte, .. .). Wenn die erste von 0 verschiedenen Ableitungen gerader Ordnung ist (zweite, vierte, ...), dann gibt es keinen Wendepunkt.

Beispiele

{Anzeigestil f(x)=cos(x)}

(rot)

{displaystyle f'(x)=-sin(x)}

(Grün)

{displaystyle f''(x)=-cos(x)}

(Blau)

Beispiel 1

Wir finden die Wendepunkte der Funktion ${Anzeigestil cos(x)}$ .

Die Abbildung (rechts) zeigt die Funktion zusammen mit ihrer ersten und zweiten Ableitung: ${Anzeigestil cos(x)}$ in rot, ${displaystyle cos'(x)}$ in grün und ${displaystyle cos''(x)}$ in Blau.

Wir bestimmen die erste und die zweite Ableitung

{displaystyle cos '(x)=-sin(x)}

und

{displaystyle cos ''(x)=-cos(x)}

Wir sehen, dass die Nullstellen von ${Anzeigestil cos(x)}$ entsprechen den Nullstellen der zweiten Ableitung.

Die erste Ableitung erreicht immer ein Extremum und hat auch ein konstantes Vorzeichen darum, so dass wir immer einen Wendepunkt haben.

Die Nullen der Kosinus sind also auch die Wendepunkte (analog zu den Sinus, hyperbolischer Sinus und Kosinus hyperbolicus).

Beispiel 2

{Anzeigestil f(x)=x^{3} 3x^{2}-3x-1}

Wir finden die Wendepunkte der Funktion

{Anzeigestil f(x)=x^{3} 3x^{2}-3x-1}

Die Funktion ist in der Abbildung (rechts) blau dargestellt.

Wir bestimmen die erste und zweite Ableitung

{Anzeigestil f'(x)=3x^{2} 6x-3}

und

{Anzeigestil f''(x)=6x 6}

Die zweite Ableitung ist gleich 0 für ${Anzeigestil x=-1}$ .

Das Vorzeichen der ersten Ableitung um diesen Punkt ist konstant, nämlich negativ, also ein Wendepunkt (rot in der Abbildung). Es ist kein stationärer Punkt, da die erste Ableitung nicht 0 ist.

Beispiel 3

{Anzeigestil f(x)=x^{3}}

(Blau)

{Anzeigestil f'(x)=3x^{2}}

(rot)

Schließlich betrachten wir ein klassisches Beispiel: die Funktion ${Anzeigestil f(x)=x^{3}}$ .

Wir bestimmen wieder die erste und die zweite Ableitung

{Anzeigestil f(x)=x^{3}, f'(x)=3x^{2}}

und

{Anzeigestil f''(x)=6x}

Die Funktion ist in der Abbildung (rechts) blau dargestellt, zusammen mit der ersten Ableitung (in rot).

Wir sehen, dass die zweite Ableitung gleich 0 ist für ${Anzeigestil x=0.}$ Der Graph zeigt deutlich, dass das Vorzeichen der ersten Ableitung um diesen Punkt konstant, also positiv ist. Folglich gibt es einen Wendepunkt im Ursprung.

Beachten Sie, dass auch die erste Ableitung an diesem Punkt 0 ist, also a stationären Punkt. Die Funktion erreicht jedoch keine Extremum.

Siehe auch

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