WikiDer > Komplexer Logarithmus

Komplexer Logarithmus, gezeichnet mit einem Farbbild

In dem komplexe Analyse ist ein komplexer Logarithmus ein "invers" Funktion des komplexe Exponentialfunktion, genau wie die natürlicher Logarithmus${Anzeigestil y=lnx}$ die Umkehrung ist von der echte Exponentialfunktion${displaystyle x=e^{y}}$. Ein Logarithmus von ${Anzeigestil z}$ ist daher a komplexe Zahl${Anzeigestil w}$, so dass ${displaystyle e^{w}=z}$.^[1] Die Notation für solche wie ${Anzeigestil w}$ ist ${displaystyle w=log z}$.

Denn jede komplexe Zahl ${Anzeigestil z}$ ungleich 0 also a unendlich Anzahl der Logarithmen,^[1] es bedarf der nötigen Sorgfalt, um dem Begriff Logarithmus eine eindeutige Bedeutung zu geben:

${displaystyle mathrm {Re} (log z)=log |z|}$

${displaystyle mathrm {Im} (log z)}$ ist ein Streit von ${Anzeigestil z}$.

Also wenn ${displaystyle z=re^{i heta}}$ mit ${Anzeigestil r>0}$ (Polarform), dann ist ${displaystyle w=ln r i heta }$ ein Logarithmus von ${Anzeigestil z}$; summieren ganze ZahlVielfaches von ${displaystyle 2pi i}$ gibt alle anderen.^[1]

Fußnoten

Siehe auch

• Logarithmus
• Exponentialfunktion