WikiDer > Konstante von Champernowne

Das Champernowne-KonstanteC₁₀ ist ein transzendentRealmathematische Konstante deren Dezimalentwicklung wichtige Eigenschaften hat. Es ist nach seinem Entdecker, dem Mathematiker und ÖkonomDavid Gawen Champernowne.

Mit Base 10 (Dezimal geschrieben) wird die Konstante erzeugt, indem alle aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen nacheinander geschrieben werden:

C₁₀ = 0,12345678910111213141516...

Eine Champernowne-Konstante kann auch in anderen verwendet werden Zahlensysteme definieren Sie zum Beispiel:

C₂ = 0,1 10 11 100 101 110 111... (für Basis 2)

C₃ = 0,1 2 10 11 12 20 21 22... (für Basis 3)

Champernowne hat sich bewährt 1933 Welche ${Displaystil C_{10}}$ ein normale Zahl ist.^[1]

Fortsetzung Fraktur

Die Champernowne-Konstante kann als a . verwendet werden Kettenbruch geschrieben sein. Kurt Mahler einlassen 1937 sehen Sie, dass die Konstante transzendent ist.^[2] Der Kettenbruch ist unendlich, weil C₁₀ nicht rational ist, und ist aperiodisch (nicht irreduzibel quadratisch).

Die Begriffe der Serie variieren stark, wobei sehr große Begriffe mit vielen kleinen durchsetzt sind. Für die Basis 10 finden wir zum Beispiel

C₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,

4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,

6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...].

Die große Zahl an Position 19 besteht aus 166 Ziffern. Der nächste Term nach der Zahl 54, also an Position 41, hat 2504 Stellen. Die großen Gealls sind schwer zu berechnen, aber wenn die Serienentwicklung nach der Zerlegung einer so großen Zahl erhält man bereits eine gute Näherung. Rufen Sie die Nummer in Position 19 . an k anrufen, der Unterschied ist:

C₁₀   –   [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15]   ≈   −9 ×10⁻¹⁹⁰

C₁₀   –   [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, k]   ≈   3 ×10⁻³⁵⁶.

Dies ist eine Verbesserung der Genauigkeit von 166 Größenordnungen.

Berechnung

Champernowne-Konstante für eine gegebene Basis b kann als unendlich ausgedrückt werden Serie^[3]:

${displaystyle C_{b}=sum _{n=1}^{infty }{frac {sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}kb^{-n( k-(b^{n-1}-1))}}{b^{Summe _{k=0}^{n-1}k(b-1)b^{k-1}}}}. }$

Diese Reihe kann verwendet werden, um die Konstante zu untersuchen.

Die einfache Methode, Zahlen einzeln hinzuzufügen, kann auf einem Computer langsamer sein als auf anderen fortgeschrittenen Algorithmen.^[4]

Siehe auch

• Konstante von Copeland-Erd-Konstanten, eine ähnliche Konstante, definiert mit Primzahlen.
• Liouville-Konstante, eine Konstante mit spezieller Dezimaldarstellung.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. Champernowne-Konstante auf MathWorld, eine Wolfram-Webressource auf [1]
• Warteschlange A033307 im OEIS.