WikiDer > Irreduzibel

In dem Mathematik heißt ein Objekt irreduzibel wenn es nicht aus einfacheren Teilen zusammengesetzt werden kann. Dies ist zu vage, um als Definition verwendet zu werden, aber genaue Definitionen für irreduzible Objekte existieren in verschiedenen Bereichen der Mathematik. Der Rest dieses Artikels handelt von irreduziblen Elementen von a Kommutativer Ring mit 1 ist dies die häufigste Verwendung des Begriffs in der Algebra. Eine andere Art von Irreduzibilität tritt in der Darstellungstheorie.

Definition

Sie ${Anzeigestil R}$ ein kommutativer Ring mit a neutrales Element für die Multiplikation, die wir mit dem Symbol 1 bezeichnen. EIN Element${Anzeigestil x}$ im ${Anzeigestil R}$ heiß irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier anderer Elemente geschrieben werden kann, es sei denn, eines dieser beiden Elemente ist a Einheit (d. h. a invertierbar Element) ist:

${displaystyle forall a,bin R:acdot b=ximplies existines cin R,acdot c=1{hbox{ or }}bcdot c=1}$.

Beispiele

In dem Ring${displaystyle mathbb {Z} }$ der ganze Zahlen sind irreduzibel: die Primzahlen und ihr Gegenteil, sowie die Zahlen 1 und -1.

Einheiten sind nach obiger Definition immer irreduzibel. Sie sind daher in einigen Handbüchern ausdrücklich ausgeschlossen.

im Ring ${displaystyle mathbb {R} [X]}$ der realen Polynome in einer Variablen sind alle Polynome vom Grad 0 und 1 irreduzibel. Auch Polynome zweiten Grades mit a diskriminierend kleiner als 0 sind irreduzibel.

im Ring ${displaystyle mathbb {C} [X]}$ Von den komplexen Polynomen in einer Variablen sind nur die Polynome vom Grad 0 und 1 irreduzibel. Dies ist das Fundamentalsatz der Algebra.

Siehe auch

• Faktorisierung