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Driehoeksmeting

EIN Triangulation oder Triangulation ist eine Messmethode, die sich die Tatsache zunutze macht, dass a Dreieck ist vollständig bestimmt, wenn eine Seite (die Basis) und die angrenzende Ecken berühmt sein. Die Methode wurde erstmals von dem niederländischen Mathematiker beschrieben Gemma Frisius (1508-1555). der Kartograph Jacob van Deventer (1505-1575) war der erste, der es in die Tat umsetzte. Die Triangulation verwendet Formeln aus dem Trigonometrie, insbesondere die Sinusregel.

Snellius Grundvergrößerungsnetz. Die rote Linie t-c wird manuell gemessen. Die Länge der senkrechten Hilfslinie a-e wird mit Dreiecken bestimmt. Dies wird wiederum als Basis für die Berechnung von Dreiecken bis Leiden und Zoeterwoude verwendet. Auf diese Weise kann die Gesamtstrecke berechnet werden, während nur ein Bruchteil tatsächlich gemessen wurde

In dem Vermessung Der Begriff Trigonometrie wird hauptsächlich verwendet, um ein Netzwerk aus vielen Dreiecken zu messen, in dem möglichst viele Winkel gemessen werden und nur eine (oder wenige) Länge einer Dreiecksseite. Der erste, der diese Technik beschrieb und in die Praxis umsetzte, war Snellius (Willebrord Snel van Royen, 1580-1626). Die Methode wurde im 19. Jahrhundert verfeinert von Carl Friedrich Gauß Das hier überbestimmt System von Beobachtungsgleichungen mit dem Methode der kleinsten Quadrate aufgelöst.

Andere Bedeutung

sehen Dreieckiges unregelmäßiges Netzwerk für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Triangulation wird auch als Begriff zum Teilen von a . verwendet Polyeder oder jede andere Oberfläche in mehreren Dreiecken. Dieses Prinzip ist besonders in der Druckindustrie weit verbreitet und Geo-Informationen 3D-Modelle einfach am Computer für Computerspiele, Animationsfilme und Geografisches Informationssystem.

Grundprinzip

Die Triangulationsmethode nutzt die mathematische Eigenschaft eines Dreiecks, dass seine Form bestimmt werden kann, ohne dass alle seine Eigenschaften bekannt sind. Ein Dreieck hat 3 Seiten (Z) und 3 Winkel (H), also insgesamt 6 Merkmale. Das Dreieck lässt sich bereits mit drei der sechs Merkmale bestimmen. Zum Beispiel: wenn zwei Seiten davon bekannt sind und der dazwischenliegende Winkel (Kombination ZHZ) kann der Rest berechnet werden. Es gibt fünf Kombinationen, für die dieses Prinzip gilt, mit einer Ausnahme: Bei der Kombination von 3 Winkeln (HHH) Rahmen nicht ermittelbar.

Dreiecksmessung in einem einzelnen Dreieck: Kombination HZH

Dreiecksmessung

Dieses Beispiel betrifft ein Boot (B), das von zwei Punkten A und C am Strand beobachtet wird. Der gegenseitige Abstand b ist bekannt oder kann aus den Koordinaten von A und C berechnet werden und bildet die Basis eines Dreiecks mit dem Boot als drittem Punkt. Die Beobachter in A und C messen jeweils den Winkel der Sichtlinie zum Boot mit der Grundlinie. Mit diesen drei Daten kann die Position des Bootes im Dreieck berechnet werden. Die Beobachter können nun auch die Längen der anderen beiden Seiten und damit den Abstand von jedem Punkt zum Boot berechnen.

Dies wird als '(Ein-)Schneiden' bezeichnet. Der Schnitt kann auf zwei Arten erfolgen:

  • Vorwärtsschnitt: Wenn man die Position (Koordinaten) von zwei bekannten Punkten hat und man die Richtung eines neuen Punktes von diesen bekannten Positionen misst, kann die Position des neuen Punktes berechnet werden.
  • Rückenausschnitt: Wenn die Koordinaten von mindestens drei Punkten vorliegen, kann die Position durch Winkelmessungen vom neu zu bestimmenden Punkt zu den bekannten Punkten bestimmt werden, sofern die drei Punkte und der zu bestimmende Punkt nicht auf einem liegen Kreis.

Ein Netz von Dreiecken: Kombination HZH

Triangulationsnetzwerk

Die obige Kombination HZH wird auch in der Erhebung verwendet, was in diesem Fall bedeutet:

Wenn die Länge einer Seite bekannt ist und die beiden angrenzenden Winkel gemessen wurden, kann die Länge der anderen beiden Seiten berechnet werden

Dazu wird von Vermessern eine Länge manuell und sehr genau vermessen, im Bild rechts die Linie AB . Dann wird ein entfernter Punkt C gewählt, der von beiden Enden dieser Linie aus beobachtet werden kann. Jetzt sofort Theodolit man misst dann die Winkel, die die Basislinie mit den Sichtlinien zum Punkt C bildet. Dann können die Längen dieser Sichtlinien (AC und BC) berechnet werden. Da damit die Längen dieser beiden Sichtlinien bekannt sind, können sie selbst als Basislinie für ein zweites und drittes Dreieck dienen, das an das erste Dreieck (im Bild zu den Punkten D bzw. E) gekoppelt wird. Durch Wiederholung dieses Verfahrens kann eine Kette oder ein Netz von Dreiecken über große Entfernungen auf der Grundlage nur einer tatsächlich gemessenen Linie berechnet werden.

Zur Überprüfung der Ergebnisse können in dieser Kette berechnete Liniensegmente manuell an Sollwerten gemessen werden. Bei besonders langen Sichtlinien ist es möglich, Kontrolldreiecke abzustecken, die mehrere berechnete Dreiecke kreuzen (die blauen Linien im Bild).

Höhenkorrektur

Höhenmessung mit Dreiecken

Die obigen Messungen funktionieren perfekt - in einer flachen Ebene. Selbst in einem relativ flachen Land wie den Niederlanden sind bodennahe Messpunkte manchmal mit Kirchtürmen verbunden, sodass Höhenunterschiede ausgeglichen werden müssen, um Distanzen in einer geraden Linie zu berechnen. Die Höhe der beobachteten Punkte kann auch durch die Kombination von Merkmalen trianguliert werden: eine bekannte Seite, ein angrenzender Winkel und der entgegengesetzte Winkel (HHZ).

Im nebenstehenden Bild wird zunächst ein Dreieck (blau) gemessen, wobei die durchgezogene Linie l die Grundlinie ist, über die Winkel α und β (HZH), allerdings ist dies eine vertikale Messung und keine horizontale wie in den obigen Beispielen . Die Länge der rechten gestrichelten Linie beträgt jetzt bekannt ist und die gedachte Fortsetzung der Grundlinie mit der Senkrechten einen rechten Winkel (90°) bildet, die gewünschte Höhe, die einfach berechnet werden kann als .

Es ist zu beachten, dass im Bild die gemessene Basislinie als horizontal (Geisterhöhe) und auf Meereshöhe angenommen wird. Die Bedingungen im Feld sind in der Regel nicht so ideal und erfordern immer komplexere Berechnungen.

Zustandsdreieckmessung

Die deutsche Triangulation, auf der die erste niederländische Triangulation basierte

Mithilfe der Trigonometrie werden die Koordinaten der ursprünglichen Punkte des niederländischen System der nationalen Dreiecksmessung (RD) bestimmt. Viele Länder wurden erstmals auf diese Weise gemessen. Wegen ihrer Sichtbarkeit hauptsächlich in den Niederlanden Kirchtürme als Bezugspunkte in der Triangulation anstelle von Hügelkuppen verwendet. Diese Punkte erfüllen die Rolle von Scheitel in einem oder mehreren Dreiecken. Die erste landesweite Trigonometrie in den Niederlanden nutzte eine Basis in Deutschland in der Nähe von Bonn, die Messung Übachsberg-Klifsberg (Gemeinde Herkenbosch) bildete die Verbindung mit dem Rest der Niederlande. 1913, in Strø eine Grundlage zur Überprüfung des berechneten Dreiecksrasters gemessen und die gemessene Abweichung erwies sich als vernachlässigbar.

Siehe auch