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Symmetrie
Figur mit Rotationssymmetrie und Spiegelsymmetrie.

Man spricht von Symmetrie (griechisch: , zusammen und , messen) mit einem Objekt, wenn zwei Hälften des Objekts in einem bestimmten Satz einander gehören Reflexion sein. Diese Spiegelung kann relativ zu a . erfolgen Punkt, ein Linie oder ein eben sein. Allgemeiner gesagt ist eine Symmetrie eines Objekts eine Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder Kombination davon oder eine allgemeinere Transformation, die das Objekt auf sich selbst abbildet (unveränderlich spät).

  • Der Großbuchstabe A ist symmetrisch zur vertikal Achse durch die Spitze.
  • Das Kapital E ist das relativ zum horizontal Achse durch die Mitte.
  • Der Kreis ist symmetrisch unter willkürlich Drehungen um die Mitte und darunter Reflexionen relativ zu seinen Durchmessern.
  • Das regelmäßige Sechseck ist symmetrisch mit Drehungen um das Zentrum um ein Vielfaches von 60° und mit Spiegelungen bezüglich seiner 3 Höhenlinien und seiner 3 Durchmesser.

Symmetrie in einer, zwei und drei Dimensionen

Bei einem Objekt (einschließlich einer Figur) in 1D, 2D und 3D beinhaltet Symmetrie oft Invarianz unter einem oder mehreren euklidische Isometrien.

Es gibt dann folgende Symmetrietypen (Symmetrieoperation, Symmetrieelement, Element der Symmetriegruppe):

Von Rotationssymmetrie spricht man beispielsweise, wenn ein Objekt folgt Drehung geht in einem bestimmten Winkel in sich über.

Bei Spiegelsymmetrie in zwei Dimensionen gibt es eine Linie, die Spiegelachse, bezüglich der das Objekt na Reflexion bleibt gleich. In drei Dimensionen handelt es sich um die Reflexion in Bezug auf eine Ebene, die Spiegelebene.

Eine Symmetrie eines Objekts impliziert oft mehrere Symmetrien. Wenn eine gegebene Verschiebung ein Objekt invariant macht, dann hinterlässt auch eine Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung und/oder über ein Vielfaches der Distanz, und analog zur Drehung.

Außerdem kann ein Objekt mehrere Symmetrien aufweisen, von denen die eine nicht aus der anderen entsteht. Also besitzt a Quadrat vier Symmetrieachsen: eine horizontale, eine vertikale und zwei diagonale. Außerdem ist das Quadrat auch punkt- und rotationssymmetrisch. Biene Kreissymmetrie es gibt unendlich viele Symmetrieachsen und es gibt auch Rotationssymmetrie über beliebige Winkel. EIN Zylinder hat unendlich viele vertikale Spiegelflächen und eine horizontale. Die vertikale Achse ist eine Drehachse um einen beliebigen Winkel. In der horizontalen Spiegelebene unendlich viele Drehachsen, um die das Objekt um 180° gedreht werden kann (Doppelachsen) und in der Mitte befindet sich ein Inversionszentrum. Kugelsymmetrie oder Kugelsymmetrie tritt in drei . auf Maße wenn eine Größe nur von der Entfernung von einem Mittelpunkt abhängt; es gibt dann Drehachsen in alle Richtungen.

Punktsymmetrie ist Invarianz unter Punktreflexion: in 1D ist dies gleich Spiegelsymmetrie, in 2D gleich Rotationssymmetrie mit einer Drehung um 180° und in 3D Invarianz darunter Umkehrung (3D-Punktspiegelung ist eine besondere Form der Rotationsspiegelung).

Symmetrie eines Vektorfeldes

EIN Vektorfeld ist spiegelsymmetrisch, wenn der zum gespiegelten P' eines Punktes P addierte Vektor der gespiegelte Vektor des zu P gehörenden Vektors ist. Dies entspricht einfach der Spiegelsymmetrie einer Figur, in der die Vektoren eingezeichnet sind. Dementsprechend ist es Spiegelbild eines Vektorfeldes definiert.

Dies gilt analog für die Rotationssymmetrie. Bei Translationssymmetrie bleibt der Vektor gleich.

Ästhetik und Kunst

Symmetrie im 18. Jahrhundert die Architektur: Pavillon Welgelegen im Haarlem.
Byzantinische Miniatur aus dem 6. Jahrhundert

Symmetrie und Asymmetrie sind sehr wichtig in der bildende Kunst und der die Architektur. Symmetrie ist weit verbreitet in Volkskunst, Kirchen, Rosetten und islamische Kunst.

Der niederländische bildende Künstler Maurits Cornelis Escher verwendete Symmetrie nicht nur als Kompositionshilfe, sondern oft als eigentliches Thema seiner Arbeit.

Symmetrie stellt nicht unbedingt sicher, dass ein Objekt schön ist. Symmetrie, aber auch zum Beispiel der Einsatz von Materialien und Farbe können eine Rolle bei der Ästhetik eines Kunstwerks. Symmetrische Kunstwerke wirken oft ausgewogen und ruhig. Zum Beispiel mit Byzantinische Kunst zentrale Symmetrie spielt eine wichtige Rolle, bei dieser Art von Arbeiten ist oft eine vertikale Achse anzugeben.

Das Schönheitserlebnis eines menschlichen Gesichts hängt unter anderem von seiner Symmetrie ab.

Verallgemeinerung

In der Mathematik werden neben den oben genannten Beispielen viele andere Symmetriekonzepte verwendet; unter anderem:

Gruppen

Der abstrakte Kontext, in dem Symmetrien untersucht werden, ist der Gruppentheorie. Eine Symmetrie ist eine Operation an einer Menge, die bestimmte Aspekte dieser Menge unverändert lässt. Die Menge aller Transformationen, die diese Aspekte unverändert lassen, bildet a Gruppe mit dem Edit "kommt danach" (Komposition): de Symmetriegruppe.

Symmetrie einer Funktion in Bezug auf den Austausch der Variablen ist gekennzeichnet durch die Gruppe von Permutationen mit der Eigenschaft, dass der Funktionswert für jedes Tupel von Argumentwerten unterhalb der Permutation gleich bleibt. An einer symmetrische Funktion ist das das ganze symmetrische Gruppe.[1] Bei der doppeltes Verhältnis

(wo die Werte aller Variablen unterschiedlich sind)

ist die Symmetriegruppe a abelsche Gruppe mit 4 Elementen, dem sogenannten Vierergruppe von Klein.

Die weiter oben in diesem Artikel zitierten geometrischen Symmetrien entsprechen bestimmten Gruppen geometrischer Transformationen; insbesondere entspricht die binäre Links-Rechts-Symmetrie der Alltagssprache einer Gruppe von zwei Elementen, bestehend aus a Reflexion und der identische Transformation.

Das Tapetenmustergruppen ergeben symmetrische Flächenfüllungen.

Kontinuierliche und diskrete Symmetrie

Einige Symmetriegruppen haben einen kontinuierlichen Charakter in dem Sinne, dass es sich bei den betrachteten Transformationen um eine "geringfügige Änderung" handelt. Die mathematische Übersetzung davon ist Topologie, und das Studium kontinuierlicher Transformationsgruppen ist das Studium von topologische Gruppen. Wenn aus den stetigen Übergängen auch a differenzierbar Struktur, wir sprechen von Lügengruppen. Das Drehungen, die Reflexionen und die Verschiebungen der Ebene bilden zusammen eine Lie-Gruppe, entsprechend dem Symmetriebegriff Kongruenz in der Geometrie.

Andere Symmetrien sind in dem Sinne diskret, dass die verschiedenen Transformationen sauber voneinander getrennt sind, zum Beispiel wenn die Symmetriegruppe eine endliche Anzahl von Transformationen enthält; wir sprechen von a diskrete Symmetrie. Ein Beispiel für eine endliche (und damit diskrete) Symmetriegruppe ist die oben erwähnte Spiegelgruppe zweier Elemente.

Asymmetrie

Hat ein Objekt keinerlei Symmetrie (und damit ist die Symmetriegruppe die triviale Gruppe is) heißt es asymmetrisch. So ist es Herz des Menschen nicht genau in der Körpermitte, daher ist der Körper also eigentlich asymmetrisch, obwohl er wie bei vielen Tieren äußerlich symmetrisch ist.

Kristallographie

In dem Kristallographie die Symmetrielehre spielt dabei eine besonders wichtige Rolle. Beim Lösen einer Kristallstruktur mittels Röntgenbeugung bestimmt die Symmetrie des Kristalls (einer der 230 Raumgruppen) ist in der Regel der erste Schritt.

Mechanik

Naturschutzgesetze

sehen Symmetrie (Physik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Als mechanisches System zeigt eine Symmetrie, dies führt oft zu a Naturschutzgesetz. In einem bezüglich räumlicher Verschiebungen symmetrischen System ist der Impulserhaltung (Gesamtbewegung). Wenn das System bezüglich Zeitverschiebungen symmetrisch ist, ist die Energieerhaltungssatz. In einem bezüglich der räumlichen Drehungen symmetrischen System ist der Drehmomenterhalt. Die Bewegung eines Planeten auf seiner Bahn um die Sonne gehorcht der Drehmomenterhaltung (Sekunde Keplers Gesetz), da die Schwerkraft der Sonne in alle Richtungen gleich stark ist.

Eine Symmetrie in einem System bedeutet nicht, dass die Bewegungen selbst dieser Symmetrie gehorchen: Die Planetenbahnen sind Ellipsen, die nicht rotationssymmetrisch sein. EIN Symmetriebruch ist das Phänomen, dass die konkrete Bewegung des Systems nicht oder nicht vollständig der intrinsischen Symmetrie des Systems folgt.

Quantenmechanik und Spektroskopie

sehen Molekulare Symmetrie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Auch in der Quantenmechanik beim Lösen der Schrödinger-Gleichung es ist von großer Bedeutung, die Symmetrie des vorliegenden Problems vorab anhand der Gruppentheorie aufladen. Die Symmetrie bestimmt oft, wie viele Energiezustände es insgesamt gibt und was ihre Grad der Entartung ist. Die Zeilen von a Spektrum sind daher oft durch die Symmetrie der am Übergang beteiligten Zustände gekennzeichnet.

Mengenlehre

EIN binäre Beziehung auf einen Sammlung heiß symmetrisch wenn es beim Vertauschen der Start- und Endpunkte des unveränderlich ist Paare.

Biologie

sehen Symmetrie (Biologie) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Viele Lebewesen haben eine symmetrische Struktur. Die überwiegende Mehrheit der Tierarten Gehören zur Bilateria, die eine Spiegeloberfläche haben, die sich bereits im Embryonalstadium manifestiert. Einige Tierarten, wie z Seestern und Seeigel, haben mehrere Symmetrien.

Symmetrie wird als eines der Merkmale bei der Bestimmung verwendet Blumen. Mitglieder von Rosenfamilie haben meist Blüten mit fünfzähliger Rotationssymmetrie.

Siehe auch