WikiDer > Zahl der Ochsen

Es Zahl der Ochsen oder Anzahl der Rinder oder Anzahl der Rinder ist eine Zahl, die ein Problem von . löst Archimedes bezieht sich auf Eratosthenes. Es gehört zum Außergewöhnlichen große Zahlen.

Seine Frage aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. lautet wie folgt:

"Berechne, o Freund, die Zahl der Ochsen der Sonne (sprich: die Gesamtzahl der Ochsen), gib ihr deinen Geist, wenn du eine Portion Weisheit hast."

Eine Rinderherde besteht aus Kühen und Bullen, es gibt weiße, schwarze, gelbe und gefleckte. Die Zahl der Bullen ist größer als die Zahl der Kühe.

• Die Anzahl der gelben Bullen plus die Hälfte der schwarzen Bullen plus ein Drittel der schwarzen Bullen entspricht der Anzahl der weißen Bullen.
• Die Anzahl der gelben Bullen plus ein Viertel der Anzahl der gefleckten Bullen plus ein Fünftel der Anzahl der gefleckten Bullen entspricht der Anzahl der schwarzen Bullen.
• Die Anzahl der gelben Bullen plus ein Sechstel der Anzahl der weißen Bullen plus ein Siebtel der Anzahl der weißen Bullen entspricht der Anzahl der gefleckten Bullen.
• Ein Drittel der Zahl der schwarzen Tiere plus ein Viertel der Zahl der schwarzen Tiere entspricht der Zahl der weißen Kühe.
• Ein Viertel der Anzahl der gefleckten Tiere plus ein Fünftel der Anzahl der gefleckten Tiere entspricht der Anzahl der schwarzen Kühe.
• Ein Fünftel der Anzahl der gelben Tiere plus ein Sechstel der Anzahl der gelben Tiere entspricht der Anzahl der gefleckten Kühe.
• Ein Sechstel der Zahl weißer Tiere plus ein Siebtel der Zahl weißer Tiere entspricht der Zahl der gelben Kühe.

Wenn Sie, mein Freund, die Zahl der Rinder aller Art, Stiere und Kühe, nicht angeben können, können Sie sich nicht so hoch qualifiziert nennen. Aber vergessen Sie nicht die folgenden zusätzlichen Beziehungen zwischen den Bullenzahlen:

• Die Anzahl der weißen Bullen plus die Anzahl der schwarzen Bullen ist eins Quadrat, also von der Form ${Anzeigestil n imes n}$.
• Die Anzahl der Gelben plus die Anzahl der gefleckten Bullen ist a Dreieckszahl, also von der Form ${displaystyle nimes(n1)/2}$.

Er schloss mit der Botschaft, dass wer dies nach den ersten sieben Zeilen lösen kann, „der zahlenmäßig weder unwissend noch ungeschickt ist, aber dennoch nicht zu den Weisen gezählt werden kann“. Derjenige, der das Problem vollständig lösen kann, kann zu den Weisen gezählt werden.

Die Frage ist interessant, weil sie einen Einblick in den damaligen Stand der Mathematik gewährt.

Lösung

Der erste Teil des Problems kann mit a . gelöst werden lineares Gleichungssystem mit 7 Gleichungen mit 8 Unbekannten. Wir nehmen ${Anzeigestil W,Z,V}$ und ${Anzeigestil G}$ jeweils für Weiß, Schwarz, Gefleckt und Gelb bei den Bullen und ${Anzeigestil w,z,v}$ und ${displaystyle g}$ für die Kühe ergibt sich folgendes System:

${displaystyle { egin{aligned}W&{}={frac {5}{6}}ZG/Z&{}={frac {9}{20}}VG/V&{}={frac {13}{42}} WG/w&{}={frac {7}{12}}(Z z)/z&{}={frac {9}{20}}(V v)/v&{}={frac {11}{30} }(G g)/g&{}={frac {13}{42}}(W w)end{ausgerichtet}}}$

Das System ist unbestimmt, was bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Das System kann auf 1 Variable reduziert werden:

${displaystyle { egin{ausgerichtet}Z&{}=7.460.514,k/W&{}=10.366.482,k/V&{}=7.358.060,k/G&{}=4.149.387,k/z&{} =4.893.246,k/w&{}=7.206.360,k/v&{}=3.515.820,k/g&{}=5.439.213,kend{ausgerichtet}}}$

das für jeden ${displaystyle k}$ die Zahl der Rinder und insgesamt ${Anzeigestil 50.389.082,k}$ zeigt an.

Die letzten beiden Zeilen der Problemstellung sind in diesen Vergleichen noch nicht enthalten. Die Lösung des Problems unter Berücksichtigung des zweiten Teils war in 1880 gefunden von A. Amthor, der sich auf die Pello-Vergleich. Es besagt, dass die Antwort der ersten 7 Zeilen multipliziert werden muss mit:

${displaystyle n={frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{4657imes 79072}}}$

in welchem

${displaystyle w=300.426.607.914.281.713.365{sqrt {609}} 84.129.507.677.858.393.258{sqrt {7766}}}$

und ${Anzeigestil j}$ stellt eine positive Zahl dar. Wenn wir ${Anzeigestil w}$ Aus der obigen Gleichung quadrieren wir die folgende Formel:

${displaystyle w^{2}=u v,{sqrt {609 imes 7766}}}$

in welchem ${Anzeigestil {u,v}}$ die fundamentalen Lösungen der Pell-Gleichung sind,

${displaystyle u^{2}-609 imes 7766,v^{2}=1}$

Die kleinstmögliche Anzahl von Rindern, die sowohl den ersten als auch den zweiten Teil erfüllt, wird berechnet durch ${Anzeigestil j}$ den Wert 1 geben. Dies ergibt ca

${displaystyle 7{,}76 imes 10^{206544}}$

Vieh auf.