WikiDer > Robuster Raum

Im komplexe Analyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Robustes Zimmer (oder Hardy-Klasse) ${Displaystil H^{p}}$ ein bestimmter Raum von holomorphe Funktionen auf der Einheitsscheibe wenn es obere Halbebene. Hardy Spaces wurden 1923 von . eingeführt Frigyes Rieszo, der diese Räume benannt hat G. H. Hardy, wegen eines Artikels, den Hardy 1915 zu diesem Thema veröffentlicht hatte. In dem echte Analyse sind Hardy Räume bestimmte Räume der certain Ausschüttungen auf der echt gerade das sind (im Sinne von Verteilungen) Grenzwerte der holomorphe Funktionen des Komplex Hardy Räume. Sie sind verwandt mit dem ${displaystyle L^{p}}$-Räume von dem Funktionsanalyse.

Vor dem ${displaystyle 1leq pleq infty }$ sind diese Real Winterharte Räume ${Displaystil H^{p}}$ besonders Teilmengen von ${displaystyle L^{p}}$, während für ${Anzeigestil p<1}$ das ${displaystyle L^{p}}$Leerzeichen haben eine Reihe von unerwünschten Eigenschaften. Hardy Räume verhalten sich viel besser.

Definition

Sie ${displaystyle mathbb {T} }$ der eindimensionale Torus oder Einheitskreis, modelliert als geschlossenes Intervall ${displaystyle [0,2pi ]}$ mit identifizierten Enden. Schreibe für jede ganze Zahl auf ${displaystyle nin mathbb {Z} }$ die Funktion ${displaystyle chi_{n}(t)=e^{int}}$. Vor dem ${displaystyle pgeq 1}$ ist ${displaystyle L^{p}(mathbb {T})}$ das Banach-Raum komplexwertiger periodischer Funktionen mit Periode ${Displaystil 2pi }$ von denen die ${displaystyle p}$- die Leistung ist absolut integrierbar; vor dem ${displaystyle p=infty }$ ist ${displaystyle L^{infty}(mathbb {T})}$ der Raum im Wesentlichen begrenzter solcher Funktionen (siehe ${displaystyle L^{p}}$-Platz).

Das Robustes Zimmer${Displaystil H^{p}}$ ist der Untervektorraum von ${displaystyle L^{p}(mathbb {T})}$ bestehend aus Funktionen, deren alle negativen Index-Fourier-Koeffizienten 0 sind:^[1]

${displaystyle H^{p}=links{fin L^{p}(mathbb {T}):int _{t=0}^{2pi}f(e^{it})chi _{n}(t) Mathrm {d} t=0 {hbox{für alle}} n>0.ight}}$

Dieser Unterraum ist im abgeschlossen ${displaystyle L^{p}}$norm und bildet damit wieder einen Banachraum. Als Funktionen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene betrachtet, besteht sie aus Funktionen, die zu holomorphen Funktionen auf der Einheitsscheibe in der komplexen Ebene erweitert werden können (die Fourier-Koeffizienten sind die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung um 0).

weil ${Anzeigestil T}$ eine endliche Länge hat, bilden sich die Hardy-Räume wie die Eltern ${displaystyle L^{p}}$-spaces eine Kette von Teilmengen:

${displaystyle H^{infty }Teilmenge ldots Teilmenge H^{2}Teilmenge ldots Teilmenge H^{1}}$