WikiDer > Verteilung (Mathematik)

In dem Mathematik ist ein Verteilung eine Verallgemeinerung des Konzepts Funktion. Distributionen machen es möglich Derivat um jeden zu bestimmen kontinuierlich Funktion. Darüber hinaus werden Verteilungen bei der Lösung von partielle Differentialgleichungen, besonders wie die in der Physik und Technik erscheinen in der Beschreibung nicht-kontinuierlicher Probleme. Ein bekanntes Beispiel für eine Verteilung ist die Dirac-Delta-Impuls.

Schon 1935 sprach Sergej Sobolew von verallgemeinerte Funktionen und unabhängig formulierter Saum Laurent Schwartz eine Theorie über Verteilungen in den 1940er Jahren.

Geschichte

Im Studium von Wellenfunktionen in dem Quantenmechanik benutzte den Mathematiker Paul DiracFunktionen des Formulars

${displaystyle fmapsto int f(x)g(x)dx}$

Wert Integral- über einige geeignete räumliche Domain geht, und ${displaystyle g}$ ist eine gegebene komplexwertige Funktion auf diesem Gebiet. Er wollte das Funktional, das bei gegebener stetiger Funktion ${displaystyle f}$ ihr Wert in ${Anzeigestil x=0}$ damit verbundenen,

${displaystyle fmapsto f(0),}$

in ähnlicher integraler Form und verwendet die Schreibweise:

${Anzeigestil f(0)=int f(x)delta (x)dx}$

wo die "funktion" ${Anzeigestil-Delta}$ nahm überall den Wert 0 an außer im Punkt ${Anzeigestil x=0}$ selbst, wo sie "genau die richtige Art von Unendlichkeit" war, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.

Dirac selbst hat das auch gemerkt ${Anzeigestil-Delta}$ keine wirkliche Funktion sein könnte und dass es als solche zu logischen Widersprüchen führt. Aber die Einfachheit der Notation veranlasste die Physiker, konsequent von der "Dirac-Deltafunktion" zu sprechen.

Die systematische Formalisierung dieses verallgemeinerten Funktionsbegriffs war das Werk von Laurent Schwartz, erschienen in Buchform ab 1950.^[1][2] Eine leichter zugängliche Einführung für temperierte Distributionen wird geschrieben von James Lighthill^[3].

Definition

EIN Verteilung ist ein kontinuierlichlinear funktional auf einer Fläche von Testfunktionen. Die Testfunktionen selbst bilden a topologischer Vektorraum (sehen Funktionsanalyse), und als solche bilden die Verteilungen die dualer topologischer Vektorraum.

Seit der Arbeit von Schwartz sind zwei verschiedene Typen von Testfunktionsräumen im Umlauf:

• Das unendlich stetig differenzierbare komplexwertige Funktionen auf den reellen Zahlen (oder auf ${displaystyle R^{n}}$), die außerhalb eines begrenzten Bereichs null sind;
• die unendlich stetig differenzierbaren komplexwertigen Funktionen auf den reellen Zahlen (oder auf ${displaystyle R^{n}}$), die schneller auf Null fallen als jeder Polynombruch.

(Anmerkung: diese Definitionen sind unvollständig, man sollte auch die topologische Struktur angeben)

Zur Unterscheidung werden die stetigen linearen Funktionale auf dem ersten Testraum manchmal als "reguläre Verteilungen", die anderen als "temperierte Verteilungen" bezeichnet.

Hauptmerkmale

Alle lokal integrierbaren komplexwertigen Funktionen können als gewöhnliche Verteilung betrachtet werden. Die meisten auch als temperierte Verteilung, es sei denn, sie divergieren sehr schnell für große Werte von very ${Anzeigestil x}$.

Der Begriff Derivat einer Funktion auf beliebige Verteilungen verallgemeinert werden. Die Regeln für Teilintegration weiterhin bewerben.

Beispielsweise ${Anzeigestil ln |x|}$ ist eine integrierbare Funktion, also auch eine Verteilung. Die Ableitungsfunktion ${Anzeigestil 1/x}$ ist nicht integrierbar, aber eine Verteilung, denn Ableitungen von Verteilungen sind auch Verteilungen. Der Vertrieb ${Anzeigestil 1/x}$ wird als Funktion bezeichnet, um sie von der Funktion zu unterscheiden ${displaystyle {mathcal {P}}/x}$. Das Symbol ${displaystyle {mathcal {P}}}$ ist aus dem entnommen Cauchy Hauptwert eines Integrals mit einem singulären Integranden.

Die Deltafunktion von Dirac ist eine gewöhnliche Verteilung und eine temperierte Verteilung.

Eine Verteilung multipliziert mit einer unbegrenzt differenzierbaren Funktion, die für ${Anzeigestil |x| oh infty}$ nicht stärker als ein Polynom wächst, ist auch eine Verteilung, aber das Produkt zweier Verteilungen ist nicht definiert, zum Beispiel ${Anzeigestil-Delta^{2}(x)}$ ist unbestimmt.

Anwendung

Distributionen sind ein mächtiges Werkzeug bei der Lösung von lineare Differentialgleichungen, beide gewöhnliche Differentialgleichungen wenn partielle Differentialgleichungen. Der Begriff Fourier-Transformation von einer Funktion zu Verteilungen fast nahtlos, siehe Lighthills Broschüre.

Beispiele

• Dirac-Delta

Verweise