WikiDer > Homogenes Polynom

In dem Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein homogenes Polynom ein Polynom, deren individuelle Begriffe mit Koeffizient ungleich 0, alle gleich gesamt Grad^[1] sein.

Ein homogenes Polynom vom Grad ${displaystyle d}$ in den Variablen ${displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}}$ besteht aus Mononome des Formulars

${displaystyle alpha x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}ldots x_{n}^{i_{n}}}$,

mit

${displaystyle i_{1} i_{2} ldots i_{n}=d}$

das Polynom

${displaystyle x^{5} 2x^{3}y^{2} 9xy^{4}}$

ist beispielsweise ein homogenes Polynom vom Grad 5 in zwei Variablen. Die Summe der Exponenten jedes Termes ist fünf. das Polynom

${Displaystil x^{3} 3x^{2}y z^{7}}$

andererseits kein homogenes Polynom, weil die Summe der Exponenten von einem Term zum anderen verschieden ist.

EIN algebraische Form, oder einfach bilden, ist ein anderer Name für ein homogenes Polynom. Ein homogenes Polynom vom Grad 2 ist a quadratische Form, und lässt sich leicht darstellen durch a symmetrische Matrix. Die Theorie der algebraischen Formen ist sehr umfangreich und hat zahlreiche Anwendungen in der gesamten Mathematik und theoretische Physik.

Homogen in Bezug auf eine bestimmte Menge von Variablen

Anstatt zu prüfen, ob alle Mononome eines Polynoms den gleichen Grad in Bezug auf alle in diesem Polynom vorkommenden Variablen haben, wird eine Menge von Variablen vordefiniert. Alle anderen Variablen werden dann für einen Moment als Konstanten betrachtet.

Wenn man sagt, dass ein Polynom homogen bzgl ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ das heißt, man betrachtet für einen Moment alles andere als konstant und prüft, ob alle Mononome den gleichen Grad für die Variablen haben ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$.

Beispiele:

• ${displaystyle x^{3} xy^{2}z-ax^{2}yz^{2}}$ ist homogen bezüglich ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$
• ${Anzeigestil h(2x 4y 7) k(x-y 3)}$ ist homogen bezüglich ${displaystyle h}$ und ${displaystyle k}$
• ${displaystyle asin ^{3}x bcos ^{2}xsin x}$ ist homogen bezüglich ${Anzeigestil Sünde x}$ und ${displaystyle cosx}$

Fußnoten