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In dem Algebra und vor allem in der Theorie von Kommutative Ringe ist ein Hauptideal (auch Hauptideal genannt) eine besondere Art Ideal, nämlich ein von a . erzeugtes Ideal Element des Ring wie alle Produkte dieses einen Elements mit den Elementen des Rings.

Definition

EIN Hauptideal in einem kommutativen Ring ${Anzeigestil R}$ ist ein Ideal des Formulars:

${displaystyle aR={axmid xin R}}$

in welchem ${Anzeigestil a}$ ist ein beliebiges, aber festes Element des Rings. Das wichtigste Ideal ${displaystyle aR}$ heiß hervorgebracht durch das Element ${Anzeigestil a}$. Dieses Hauptideal wird auch mit Klammern notiert als ${Anzeigestil (a)}$.

Beispiele

• Die geraden Zahlen bilden ein Hauptideal im Ring der ganzen Zahlen, dessen Generator 2 ist.
• Für jeden Ring ${Anzeigestil R}$ ist der Singleton${Anzeigestil {0}}$ ein Hauptideal (produziert von 0).
• Jeder Einheitselementring ist an sich ein Hauptideal, erzeugt durch 1.

Verwandte Begriffe

EIN idealer Hauptring ist ein kommutativer Einheitselementring, dessen Ideale alle Hauptideale sind. Wenn der Ring außerdem a . hat Integritätsbereich ist, man spricht von a Hauptidealbereich.