WikiDer > Внутренняя метрика Шварцшильда - Википедия

Interior Schwarzschild metric - Wikipedia

В Эйнштейнтеория общая теория относительности, то внутренняя метрика Шварцшильда (также интерьерное решение Schwarzschild или же Жидкий раствор Шварцшильда) является точное решение для гравитационное поле внутри невращающегося сферического тела, которое состоит из несжимаемая жидкость (подразумевая, что плотность постоянна по всему телу) и имеет нулевой давление на поверхности. Это статическое решение, означающее, что оно не меняется со временем. Это было обнаружено Карл Шварцшильд в 1916 г., ранее обнаруживший внешняя метрика Шварцшильда.[1]

Математика

Сферические координаты

Внутренняя метрика Шварцшильда обрамлена сферическая система координат с центром тела, расположенным в начале координат, плюс координата времени. Его линейный элемент является[2][3]

куда

  • это подходящее время (время измеряется часами, движущимися по той же мировая линия с тестовая частица).
  • это скорость света.
  • - координата времени (измеряется стационарными часами, расположенными бесконечно далеко от сферического тела).
  • - радиальная координата Шварцшильда. Каждая поверхность постоянного и имеет геометрию шара с измеримой (собственной) окружностью и площадь (как по обычным формулам), но искривление пространства означает, что надлежащее расстояние от каждой оболочки до центра тела больше, чем .
  • это холодность (угол с севера, в единицах радианы).
  • это долгота (также в радианах).
  • это Радиус Шварцшильда тела, что связано с его массой к , куда это гравитационная постоянная. (Для обычных звезд и планет это намного меньше их собственного радиуса.)
  • стоимость -координат на поверхности тела. (Это меньше ее правильного (измеримого внутреннего) радиуса, хотя для Земли разница составляет всего около 1,4 миллиметра.)

Это решение действительно для . Для полной метрики гравитационного поля сферы внутренняя метрика Шварцшильда должна быть согласована с внешней,

на поверхности. Легко видеть, что оба имеют одинаковое значение на поверхности, т.е. .

Другие составы

Определение параметра , мы получили

Мы также можем определить альтернативную радиальную координату и соответствующий параметр , уступая[4]

Характеристики

Объем

С и область

интеграл для собственного объема равен

что больше объема евклидовой эталонной оболочки.

Плотность

По определению, жидкость имеет постоянную плотность. Это дается

мы это Гравитационная постоянная Эйнштейна.[3][5] Может показаться нелогичным, что плотность - это масса, деленная на объем сферы с радиусом , который, кажется, игнорирует то, что это меньше правильного радиуса, и что пространство внутри тела искривлено, так что формула объема для "плоской" сферы не должна выполняться вообще. Тем не мение, - масса, измеренная снаружи, например, путем наблюдения за пробной частицей, вращающейся вокруг гравитирующего тела ("Кеплер масса "), которая в общей теории относительности не обязательно равна собственной массе. Эта разница масс в точности компенсирует разницу объемов.

Давление и стабильность

Давление несжимаемой жидкости можно найти, рассчитав Тензор Эйнштейна от метрики. Тензор Эйнштейна есть диагональ (т.е. все недиагональные элементы равны нулю), то есть нет напряжения сдвига, и имеет равные значения для трех пространственных диагональных компонентов, то есть давление равно изотропный. Его ценность

Как и ожидалось, давление на поверхности сферы равно нулю и возрастает к центру. Он становится бесконечным в центре, если , что соответствует или же , что верно для очень плотного или большого тела. Такое тело страдает гравитационный коллапс в черная дыра. Поскольку это процесс, зависящий от времени, решение Шварцшильда больше не действует.[2][3]

Красное смещение

Гравитационное красное смещение для излучения от поверхности шара (например, света от звезды) есть

Из условия устойчивости следует .[3]

Визуализация

Встраивание среза метрики Шварцшильда в трехмерном евклидовом пространстве. Интерьерное решение - более темный колпачок внизу.
Это вложение не следует путать с несвязанной концепцией гравитационный колодец.

Пространственный кривизна внутренней метрики Шварцшильда можно визуализировать, взяв срез (1) с постоянным временем и (2) через экватор сферы, т.е. . Этот двухмерный срез может быть встроенный в трехмерном евклидовом пространстве, а затем принимает форму сферическая крышка с радиусом и половина угла открытия . Его Гауссова кривизна пропорциональна плотности жидкости и равна . Поскольку внешняя метрика может быть встроена таким же образом (давая Параболоид Фламма) фрагмент полного решения можно нарисовать следующим образом:[5][6]

Шварцшильд поперечное сечение.svg

На этом рисунке синяя круговая дуга представляет внутреннюю метрику, а черная параболический дуги с уравнением представляют собой внешнюю метрику или параболоид Фламма. В -координата - угол, отсчитываемый от центра колпачка, то есть «над» срезом. Собственный радиус сферы - интуитивно понятная длина измерительного стержня от его центра до точки на его поверхности - составляет половину длины дуги окружности, или .

Это чисто геометрическая визуализация, не подразумевающая физического «четвертого пространственного измерения», в которое пространство было бы искривлено. (Собственная кривизна не подразумевает внешняя кривизна.)

Примеры

Вот соответствующие параметры для некоторых астрономических объектов, без учета вращения и неоднородностей, таких как отклонение от сферической формы и изменение плотности.

Объект (красное смещение)
земной шар6,370 км8,87 мм170,000,000 км
9.5 световые минуты
7.77×10−10
солнце696000 км2.95 км338000000 км
19 световых минут
7.0′2×10−6
белый Гном с 1 солнечной массой5000 км2.95 км200000 км1.4°3×10−4
Нейтронная звезда с 2 солнечными массами20 км6 км37 км30°0.15

История

Интерьерное решение Schwarzschild было первым статическая сферически симметричная идеальная жидкость решение, которое было найдено. Он был опубликован 24 февраля 1916 г., всего через три месяца после Полевые уравнения Эйнштейна и через месяц после внешнего решения Шварцшильда.[1][2]

Рекомендации

  1. ^ а б Карл Шварцшильд (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" [О гравитационном поле точечной массы по теории Эйнштейна]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком). Берлин: 189–196.
  2. ^ а б c Карл Шварцшильд (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie" [О гравитационном поле шара из несжимаемой жидкости по теории Эйнштейна]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком). Берлин: 424–434.
  3. ^ а б c d Торстен Флисбах (2003). Allgemeine Relativitätstheorie [Общая теория относительности] (на немецком языке) (4-е изд.). Spektrum Akademischer Verlag. С. 231–241. ISBN 3-8274-1356-7.
  4. ^ Р. Бургхардт (2009). «Интерьерное решение Шварцшильда и свободное падение» (PDF). Австрийские отчеты о гравитации.
  5. ^ а б П.С. Флоридес (1974). «Новое интерьерное решение Schwarzschild». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 337 (1611): 529–535. Bibcode:1974RSPSA.337..529F. Дои:10.1098 / rspa.1974.0065. JSTOR 78530.
  6. ^ Р. Бургхардт (2009). «Новое вложение геометрии Шварцшильда. II. Внутреннее решение» (PDF). Австрийские отчеты о гравитации.