WikiDer > Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна.
В общая теория относительности, то Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна. (HJEE) или же Уравнение Эйнштейна – Гамильтона – Якоби. (EHJE) является уравнением в Гамильтонова формулировка из геометродинамика в суперпространство, отлитый в "эпоху геометродинамики" примерно в 1960-х годах Ашер Перес в 1962 г. и др.[1] Это попытка переформулировать общую теорию относительности таким образом, чтобы она напоминала квантовую теорию в пределах полуклассический приближение, очень похоже на соответствие между квантовая механика и классическая механика.
Он назван в честь Альберт Эйнштейн, Карл Густав Джейкоб Якоби, и Уильям Роуэн Гамильтон. EHJE содержит столько же информации, сколько все десять Уравнения поля Эйнштейна (EFE).[2] Это модификация Уравнение Гамильтона – Якоби (HJE) из классическая механика, и может быть получен из Действие Эйнштейна – Гильберта с использованием принцип наименьшего действия в Формализм ADM.
Предпосылки и мотивация
Соответствие классической и квантовой физики
В классическом аналитическая механика, динамика системы резюмируется действие S. В квантовой теории, а именно нерелятивистской квантовая механика (QM), релятивистская квантовая механика (RQM), а также квантовая теория поля (QFT), с различными интерпретациями и математическими формализмами в этих теориях, поведение системы полностью содержится в сложный-значен амплитуда вероятности Ψ (более формально как квантовое состояние кет | Ψ⟩ - элемент Гильбертово пространство). Используя полярную форму волновой функции, сделав преобразование Маделунга:
в фаза из Ψ интерпретируется как действие, а модуль √ρ = √Ψ * Ψ = | Ψ | интерпретируется в соответствии с Копенгагенская интерпретация как функция плотности вероятности. В приведенная постоянная Планка час это квант углового момента. Подстановка этого в квантовый общий Уравнение Шредингера (SE):
и принимая предел час → 0 дает классический HJE:
что является одним из аспектов принцип соответствия.
Недостатки четырехмерного пространства-времени
С другой стороны, переход от квантовой теории к Общее Теория относительности (ОТО) сделать сложно; Одна из причин - трактовка в этих теориях пространства и времени. В нерелятивистской КМ пространство и время не равны; время - это параметр, а позиция - оператор. В RQM и QFT положение возвращается к обычному пространственные координаты наряду с координатой времени, хотя эти теории согласуются только с СТО в четырехмерном плоский Пространство Минковского, и нет искривленное пространство ни гр. Можно сформулировать квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, но даже это все еще не может включать ОТО, потому что гравитация не перенормируемый в QFT.[3] Кроме того, в ОТО частицы движутся через искривленное пространство-время с детерминированно известными положением и импульсом в каждый момент, тогда как в квантовой теории положение и импульс частицы не могут быть точно известны одновременно; Космос Икс и импульс п, и энергия E и время т, попарно подчиняются принципы неопределенности
из которых следует, что небольшие интервалы в пространстве и времени означают, что возможны большие флуктуации энергии и импульса. Поскольку в GR масса – энергия и импульс – энергия источник искривление пространства-времени, большие флуктуации энергии и импульса означают, что пространственно-временная «ткань» потенциально может стать настолько искаженной, что распадется на достаточно малых масштабах.[4] Существуют теоретические и экспериментальные доказательства того, что вакуум обладает энергией, поскольку движение электронов в атомах колеблется, это связано с Баранина сдвиг.[5] По этим и другим причинам во все более малых масштабах пространство и время считаются динамичными вплоть до Планковская длина и Планковское время напольные весы.[4]
В любом случае четырехмерный искривленное пространство-время континуум - четко определенная и центральная черта общей теории относительности, но не в квантовой механике.
Уравнение
Одна попытка найти уравнение, управляющее динамикой системы, максимально приближенное к QM и GR, состоит в том, чтобы переформулировать HJE в виде трехмерный искривленное пространство понимается как "динамический" (меняется со временем), и нет четырехмерный пространственно-временная динамика во всех четырех измерениях, как и EFE. Пространство имеет метрика (видеть метрическое пространство подробнее).
В метрический тензор в общей теории относительности существенный объект, так как подходящее время, длина дуги, геодезическое движение в искривленное пространство-время, и многое другое, все зависит от метрики. Приведенный выше HJE модифицирован для включения метрики, хотя это только функция трехмерных пространственных координат. р, (Например р = (Икс, у, z) в Декартовы координаты) без координировать время т:
В контексте граммij называется «метрическим полем» или просто «полем».
Общее уравнение (свободное искривленное пространство)
Для свободной частицы в изогнутом "пустое место"или" свободное место ", т.е. при отсутствии иметь значение кроме самой частицы, уравнение можно записать:[6][7][8]
куда грамм это детерминант метрического тензора и р в Скалярная кривизна Риччи трехмерной геометрии (без учета времени) и "δ" вместо "d"обозначает вариационная производная а не обыкновенная производная. Эти производные соответствуют импульсам поля, «сопряженным с полем метрики»:
скорость изменения действия относительно координат поля граммij(р). В грамм и π вот аналог q и п = ∂S/∂qсоответственно в классических Гамильтонова механика. Видеть канонические координаты для получения дополнительной информации.
Уравнение описывает, как волновые фронты постоянного действия распространяются в суперпространстве - как динамика волны материи свободной частицы разворачивается в искривленном пространстве. Дополнительные источники необходимы для учета наличия дополнительных влияний на частицу, которые включают присутствие других частиц или распределения материи (которые вносят вклад в искривление пространства), а также источники электромагнитных полей, влияющих на частицы с электрический заряд или же вращение. Как и уравнения поля Эйнштейна, это нелинейный в метрике из-за произведений метрических компонентов, и, как HJE, он нелинейен в действии из-за произведения вариационных производных в действии.
Квантово-механическую концепцию, согласно которой действие является фазой волновой функции, можно интерпретировать из этого уравнения следующим образом. Фаза должна удовлетворять принципу наименьшего действия; Это должно быть стационарный за небольшое изменение конфигурации системы, другими словами за небольшое изменение положения частицы, что соответствует небольшому изменению метрических составляющих;
небольшое изменение фазы равно нулю:
(куда d3р это элемент объема из объемный интеграл). Так что конструктивная интерференция волн материи максимальна. Это может быть выражено принцип суперпозиции; применяется ко многим нелокализованным волновым функциям, распространяющимся по искривленному пространству, чтобы сформировать локализованную волновую функцию:
для некоторых коэффициентов cп, а дополнительно действие (фаза) Sп для каждого ψп должен удовлетворять:
для всех п, или эквивалентно,
Регионы, где Ψ является максимальным или минимальным, возникают в точках, где есть вероятность найти там частицу и где изменение действия (фазы) равно нулю. Итак, в приведенном выше EHJE каждый волновой фронт постоянного действия находится там, где частица мог быть найденным.
Это уравнение до сих пор не «объединяет» квантовую механику и общую теорию относительности, потому что квазиклассическое приближение Эйконала в контексте квантовой теории и общей теории относительности было применено, чтобы обеспечить переход между этими теориями.
Приложения
Уравнение принимает различные сложные формы:
Смотрите также
- Слоение
- Квантовая геометрия
- Квантовое пространство-время
- Вариационное исчисление
- Уравнение также связано с Уравнение Уиллера – ДеВитта.
- Метрика Переса
Рекомендации
Примечания
- ^ А. Перес (1962). «О проблеме Коши в общей теории относительности - II». Nuovo Cimento. 26 (1). Springer. С. 53–62. Дои:10.1007 / BF02754342.
- ^ ЭМ-М-М. Герлах (1968). «Вывод десяти уравнений поля Эйнштейна из полуклассического приближения к квантовой геометродинамике». Физический обзор. 177 (5): 1929–1941. Bibcode:1969ПхРв..177.1929Г. Дои:10.1103 / PhysRev.177.1929.
- ^ А. Шомер (2007). «Педагогическое объяснение неперенормируемости гравитации». arXiv:0709.3555 [hep-th].
- ^ а б R.G. Лернер; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели VHC. п.1285. ISBN 978-0-89573-752-6.
- ^ J.A. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. стр. 1190. ISBN 978-0-7167-0344-0.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
- ^ J.A. Уиллер, К. Миснер, К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. стр. 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
- ^ Дж. Мехра (1973). Представление физика о природе. Springer. п. 224. ISBN 978-90-277-0345-3.
- ^ J.J. Холливелл; Х. Перес-Меркадер; W.H. Журек (1996). Физические истоки асимметрии времени. Издательство Кембриджского университета. п. 429. ISBN 978-0-521-56837-1.
дальнейшее чтение
Книги
- Дж. Л. Лопес (1977). Квантовая механика, полвека спустя: доклады коллоквиума о пятидесяти годах квантовой механики. Страсбург, Франция: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0.
- К. Ровелли (2004). Квантовая гравитация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83733-0.
- К. Кифер (2012). Квантовая гравитация (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-958520-5.
- J.K. Гликман (1999). К квантовой гравитации: Материалы XXXV Международной зимней школы по теоретической физике. Поляница, Польша: Springer. п. 224. ISBN 978-3-540-66910-4.
- L.Z. Клык; Р. Руффини (1987). Квантовая космология. Продвинутая серия по астрофизике и космологии. 3. Всемирный научный. ISBN 978-9971-5-0312-3.
Избранные статьи
- Т. Бэнкс (1984). «TCP, квантовая гравитация, космологическая постоянная и все такое ...» (PDF). Стэнфорд, США. (Уравнение A.3 в приложении).
- Б. К. Дарьян (1997). «Решение уравнения Гамильтона-Якоби для гравитационно взаимодействующих электромагнитных и скалярных полей». Канада, США. arXiv:gr-qc / 9707046v2. Bibcode:1998CQGra..15..143D. Дои:10.1088/0264-9381/15/1/010.
- Дж. Р. Бонд; Д. С. Салопек (1990). «Нелинейная эволюция длинноволновых флуктуаций метрики в инфляционных моделях». Phys. Ред. D. Канада (США), Иллинойс (США).
- Санг Пё Ким (1996). «Классическое пространство-время из квантовой гравитации». Phys. Ред. D. Кунсан, Корея: IoP. arXiv:gr-qc / 9601049. Bibcode:1996CQGra..13.1377K. Дои:10.1088/0264-9381/13/6/011.
- S.R. Бербена; СРЕДНИЙ. Беррокаль; Дж. Сокорро; L.O. Пиментель (2006). «Уравнение Эйнштейна-Гамильтона-Якоби: поиск классического решения для баротропной FRW». Гуанахуато и Автонома Метрополитана (Мексика). arXiv:gr-qc / 0607123. Bibcode:2007RMxFS..53b.115B.