WikiDer > Янко группа J2

Janko group J2

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Янко группа J2 или Холл-Янко группа HJ это спорадическая простая группа из порядок

   27 · 33 · 52 · 7 = 604800
≈ 6×105.

История и свойства

J2 один из 26 Спорадические группы и также называется Группа Холл-Янко-Уэльс. В 1969 г. Звонимир Янко предсказал J2 как одна из двух новых простых групп, имеющих 21+4: А5 как централизатор инволюции (другой - Янко группа J3). Он был построен зал и Уэльс (1968) как группа перестановок ранга 3 на 100 баллов.

Оба Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов имеют порядок 2. Как группа перестановок на 100 точек J2 имеет инволюции перемещение всех 100 точек и перемещение только 80 точек. Первые инволюции являются продуктом 25 двойных перемещений, нечетного числа и, следовательно, подъема до 4-элементов в двойная крышка 2.А100. Двойная крышка 2.J2 происходит как подгруппа группы Conway Co0.

J2 является единственной из 4 групп Янко, которая подчастный из группа монстров; таким образом, это часть того, что Роберт Грисс зовет Счастливая семья. Так как он также встречается в Конвей группа Co1, следовательно, это часть второго поколения счастливой семьи.

Представления

Это подгруппа индекс два из группы автоморфизмов График Холла – Янко, ведущий к перестановочное представление степени 100. Это также подгруппа индекса два группы автоморфизмов Холла – Янко Около восьмиугольника,[1] приводя к представлению перестановки степени 315.

Оно имеет модульное представление размерности шесть над полем четырех элементов; если в характеристика два у нас есть ш2 + ш + 1 = 0, то J2 порождается двумя матрицами

и

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

(Обратите внимание, что умножение матриц в конечном поле порядка 4 определяется несколько иначе, чем обычное умножение матриц. См. Конечное поле § Поле с четырьмя элементами для конкретных таблиц сложения и умножения и используйте ш такой же как а и ш2 такой же как 1 + а.)

J2 таким образом Группа Гурвиц, конечный гомоморфный образ (2,3,7) треугольная группа.

Приведенное выше матричное представление представляет собой вложение в Диксона группа грамм2(4). Есть только один класс сопряженности J2 в грамм2(4). Каждая подгруппа J2 содержалась в грамм2(4) продолжается до подгруппы J2:2 = Aut (J2) в грамм2(4):2 = Aut (грамм2(4)) (грамм2(4) расширены полевыми автоморфизмами F4). грамм2(4) в свою очередь изоморфна подгруппе группы Конвей группа Co1.

Максимальные подгруппы

Есть 9 классы сопряженности из максимальные подгруппы из J2. Некоторые из них описаны здесь в терминах действия на графе Холла – Янко.

  • U3(3) заказ 6048 - стабилизатор одноточечный, с орбитами 36 и 63
Простая, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюции, все сопряженные, каждая перемещает 80 точек. Данная инволюция находится в 12 168-подгруппах, таким образом фиксируя их при сопряженности. Его центратор имеет структуру 4.S4, который содержит 6 дополнительных инволюций.
  • 3.PGL (2,9) order 2160 - имеет подфактор A6
  • 21+4: А5 порядок 1920 - централизатор инволюции, перемещающий 80 точек
  • 22+4: (3 × S3) заказ 1152
  • А4 × А5 заказ 720
Содержит 22 × А5 (порядок 240), централизатор из 3-х инволюций, каждая перемещает 100 точек
  • А5 × D10 заказ 600
  • ПГЛ (2,7) заказ 336
  • 52: D12 заказ 300
  • А5 заказ 60

Классы сопряженности

Максимальный порядок любого элемента равен 15. В качестве перестановок элементы действуют на 100 вершин графа Холла – Янко.

ЗаказКол-во элементовСтруктура цикла и сопряженность
1 = 11 = 11 класс
2 = 2315 = 32 · 5 · 7240, 1 класс
2520 = 23 · 32 · 5 · 7250, 1 класс
3 = 3560 = 24 · 5 · 7330, 1 класс
16800 = 25 · 3 · 52 · 7332, 1 класс
4 = 226300 = 22 · 32 · 52 · 726420, 1 класс
5 = 54032 = 26 · 32 · 7520, 2 класса, эквивалент мощности
24192 = 27 · 33 · 7520, 2 класса, эквивалент мощности
6 = 2 · 325200 = 24 · 32 · 52 · 72436612, 1 класс
50400 = 25 · 32 · 52 · 722616, 1 класс
7 = 786400 = 27 · 33 · 52714, 1 класс
8 = 2375600 = 24 · 33 · 52 · 72343810, 1 класс
10 = 2 · 560480 = 26 · 33 · 5 · 71010, 2 класса, эквивалент мощности
120960 = 27 · 33 · 5 · 754108, 2 класса, эквивалент мощности
12 = 22 · 350400 = 25 · 32 · 52 · 7324262126, 1 класс
15 = 3 · 580640 = 28 · 32 · 5 · 752156, 2 класса, эквивалент мощности

Рекомендации

  • Роберт Л. Грисс, Младший, "Двенадцать спорадических групп", Springer-Verlag, 1998.
  • Холл, Маршалл; Уэльс, Дэвид (1968), «Простая группа порядка 604 800», Журнал алгебры, 9: 417–450, Дои:10.1016/0021-8693(68)90014-8, ISSN 0021-8693, МИСТЕР 0240192 (Грисс рассказывает [стр. 123], как Маршалл Холл, как редактор The Журнал алгебры, получил очень короткую статью под названием "Простая группа порядка 604801." Да, 604801 - простое.)
  • Янко, Звонимир (1969), "Некоторые новые простые группы конечного порядка. I", Symposia Mathematica (ИНДАМ, Рим, 1967/68), Vol. 1, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 25–64, МИСТЕР 0244371
  • Уэльс, Дэвид Б., "Уникальность простой группы порядка 604800 как подгруппы SL (6,4)", Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
  • Уэльс, Дэвид Б., «Генераторы группы Холла – Янко как подгруппа в G2 (4)», Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, Дои:10.1016/0021-8693(69)90113-6, МИСТЕР0251133, ISSN 0021-8693

внешняя ссылка