WikiDer > Nilpotent

In dem Mathematik wird ein ElementX von a RingRnilpotent angerufen, wenn es ein bestimmtes gibt positivgerade Zahlnein existiert damit X bis zum Leistung gleich Null

${Anzeigestil x^{n}=0,}$.

Beispiele

Die obige Definition kann insbesondere angewendet werden auf quadratische Matrizen. Die Matrix

${displaystyle A={ egin{pmatrix}0&1&0/0&0&1/0&0&0end{pmatrix}}}$

ist wirkungslos, weil ${Anzeigestil A^{3}=0,}$. Man spricht von a nilpotente Matrix.

Im Factoring-Ring Z/9Z ist die Klasse von is 3 nilpotent, weil ${Displaystil 3^{2},}$ ist kongruent mit 0 modular 9.

Der Ring der Coquaternionen enthält a Kegel von Nilpotenten.

Eigenschaften

Kein nilpotentes Element kann Einheit sind (außer in a trivialer Ring {0}, das nur eine einzige hat Element 0 = 1 enthält). Alle von Null verschiedenen nilpotenten Elemente sind Nullteiler.

Eine quadratische Matrix, deren Ordnung no . hat Koeffizienten hat in einem Kommutativ Körper ist dann und nur dann, wenn nilpotent als Wesen charakteristisches Polynom gleich ${Displaystil T^{n},}$. Dies ist nur der Fall, wenn ${Anzeigestil A^{n}=0,}$.

Nilpotente Elemente von a Kommutativer Ring konstituieren Ideal, das Nullradikal dieses Rings.

wenn X ist nilpotent, dann 1 - x ein Einheit, weil ${Anzeigestil x^{n}=0,}$ bedeutet, dass

${displaystyle (1-x)(1 x x^{2} ldots x^{n-1})=1-x^{n}=1,}$.

in Physik

EIN Operator${Anzeigestil Q,}$, was zufriedenstellend ist ${Displaystil Q^{2}=0,}$ ist nilpotent. Der BRST-Formalismus ist ein wichtiges Beispiel in der Physik.