WikiDer > Jordanien Normalform

In dem Lineare Algebra ist der Jordanische Normalform von a quadratische Matrix eine Matrix, die eine Standardform hat und die einfachste Form ist, in die man die ursprüngliche Matrix durch eine Transformation des umwandeln kann Base. Die Jordan-Normalform stammt aus dem Versuch, eine Matrix auf a . zu reduzieren diagonale Matrix und so die Eigenwerte finden. Allerdings ist nicht jede Matrix diagonalisierbar, aber eine große Klasse von Matrizen kann auf die Jordan-Normalform reduziert werden, die "fast" diagonal ist. Die Jordan-Normalform ist außer auf der Hauptdiagonale und der Nebendiagonale über der Hauptdiagonale vollständig mit Nullen gefüllt, und die Elemente auf der Nebendiagonale, die nicht 0 sind, haben den Wert 1.

Die Jordan-Normalform ist benannt nach Camille Jordan, der diese Form 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungen für komplexe Matrizen herleitete.

Die Jordan-Normalform ${Displaystil J}$ von ${Anzeigestil A}$ ist ähnlich mit ${Anzeigestil A}$.

Diagonalisierbarkeit

EIN nein×nein-Matrix ist diagonalisierbar genau dann, wenn die Summe der Dimensionen der private Räume gleich nein. Oder äquivalent: genau dann, wenn die Matrix genau ist neinlinear unabhängig hat Eigenvektoren.

Allerdings ist nicht jede Matrix diagonalisierbar, wie an folgendem Beispiel zu sehen ist.

${displaystyle A={ egin{bmatrix}5&4&2&1/0&1&-1&-1/-1&-1&3&0/1&1&-1&2end{bmatrix}}.}$

Die Eigenwerte von ${Anzeigestil A}$ sind 1, 2, 4 und 4 (unter Berücksichtigung der Multiplizität). Zum Eigenwert 1 gehört der Eigenvektor (1,−1,0,0), zum Eigenwert 2 der Eigenvektor (1,−1,0,1). Allerdings gibt es nur 1 Eigenvektor, nämlich (1,0,−1,1) zum Eigenwert 4, so dass Abmessungen des Eigenraums zum Eigenwert 4 ist gleich 1. Die Matrix ${Anzeigestil A}$ ist also nicht diagonalisierbar. Gut ${Anzeigestil A}$ ähnlich der Matrix

${displaystyle J={ egin{bmatrix}1&0&0&0/0&2&0&0/0&0&4&1/0&0&0&4end{bmatrix}}}$,

weil

${displaystyle PJ={ egin{bmatrix}1&1&1&1/-1&-1&0&0/0&0&-1&0/0&1&1&0end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1&0&0&0/0&2&0&0/0&0&4&1/0&0&0&0&x}{bmatrix}$

${displaystyle ={ egin{bmatrix}1&2&4&5/-1&-2&0&0/0&0&-4&-1/0&2&4&1end{bmatrix}}=}$

${displaystyle ={ egin{bmatrix}5&4&2&1/0&1&-1&-1/-1&-1&3&0/1&1&-1&2end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1&1&1&1/-1&-1&0&0/0&0&-1&0/0&1&1&0end}=bmatrix} AP }$.

Die Matrix ${Displaystil J}$ ist fast eine Diagonalmatrix. Leute rufen ${Displaystil J}$ die jordanische Normalform.

Definition

Das Jordanische Normalform der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ außer Betrieb nein über die Komplex Zahlen, ist eine quadratische Matrix ${Displaystil J}$, auch in ordnung nein, mit der folgenden Form, die ähnlich ist zu ${Anzeigestil A}$:

${displaystyle J={ egin{bmatrix}J_{1}&0&ldots &0/0&J_{2}&ldots &0/vdots &vdots &ddots &vdots /0&0&ldots &J_{k}end{bmatrix}}}$.

Darin ist

${displaystyle J_{k}={ egin{bmatrix}lambda _{k}&1&0&ldots &0/0&lambda _{k}&1&ldots &0/vdots &vdots &ddots &ddots &vdots /0&0&0&ldots &1/0&0_{ &&klambld}$

eine quadratische obere Diagonalmatrix mit der k-der Eigenwert ${displaystyle lambda_{k}}$ von ${Anzeigestil A}$ auf der Hauptdiagonalen und alle Elemente auf der Nebendiagonale sind gleich 1. Die Ordnung ist gleich der algebraischen Vielfachheit von ${displaystyle lambda_{k}}$. die Matrizen ${Anzeigestil (J_{k})}$ einbiegen in Jordanische Blöcke erwähnt.

Eine alternative Form der Jordan-Normalform hat als Jordan-Blöcke die Transponierten der obigen Blöcke.

Für eine diagonalisierbare Matrix ${Anzeigestil A}$ ist die jordanische Normalform a diagonale Matrix.

Transformationsmatrix

Die Jordan-Normalform ${Displaystil J}$ ist ähnlich wie ${Anzeigestil A}$ und die Matrix ${Anzeigestil P}$ deren Spalten (in der richtigen Reihenfolge) Basisvektoren der Eigenräume bei den verschiedenen Eigenwerten sind, Transformationen ${Anzeigestil A}$ in der jordanischen Normalform.

${Anzeigestil J=P^{-1}AP}$.

Komplexe Matrizen

Im Allgemeinen ist eine komplexe Matrix ein entspricht einer blockdiagonalen Matrix

${displaystyle J={ egin{bmatrix}J_{1}&;&;/;&ddots &;/;&;&J_{p}end{bmatrix}}}$

wo jeder J_ich ist eine quadratische Matrix der folgenden Form:

${displaystyle J_{i}={ egin{bmatrix}lambda _{i}&1&;&;/;&lambda _{i}&ddots &;/;&;&ddots &1/;&;&;&lambda _{i}end{ bmatrix}}.}$

Ähnlich zu sein bedeutet, dass es eine invertierbare Matrix gibt p existiert damit p⁻¹AP = J. Dieses J ist so, dass die einzigen Elemente ungleich Null auf der Hauptdiagonale und der oberen Diagonale sind (in einigen Nachschlagewerken sind sie auf der unteren Diagonale statt der oberen Diagonale, das ist im Grunde dasselbe). Leute rufen J als die jordanische Normalform von ein. Jeder J_ich wird ein jordanischer Block von ein erwähnt. so ein J existiert für jede Matrix. Außerdem ist es einzigartig (in der Reihenfolge der Blöcke danach). Wenn zwei Matrizen p und Q die gleiche Jordan-Normalform haben (wieder in der Reihenfolge der Blöcke) werden sie als ähnlich bezeichnet.