WikiDer > Diagonale Matrix

In dem Lineare Algebra heißt a quadratische Matrix${Anzeigestil A}$diagonalisierbar wenn es einen gibt invertierbarMatrix${Anzeigestil P}$ und ein diagonale Matrix${Anzeigestil D}$ existieren so, dass:

${Displaystil D=P^{-1}AP}$.

Diese Eigenschaft entspricht der Aussage, dass ${Anzeigestil A}$ ein Base von Eigenvektoren hast.

EIN symmetrische Matrix ist diagonalisierbar und die Basis der Eigenvektoren ist gerade orthonormal. Es gibt also eine diagonalisierende Matrix ${Anzeigestil P}$, die nicht nur invertierbar ist, sondern sogar senkrecht. In diesem Fall also:

${displaystyle D=P^{ auf }AP}$.

Eine quadratische unsymmetrische Matrix ist diagonalisierbar, wenn keine Entartung der Eigenräume auftritt. Dies bedeutet, dass für jeden Eigenraum die Abmessungen muss gleich der Vielfachheit der sein Selbstachtung. Sind alle Eigenwerte singulär, ist dies automatisch erfüllt und die Matrix kann diagonalisiert werden. Bei mehreren Eigenwerten kann die Matrix diagonalisierbar sein oder nicht.

Die folgende Tabelle zeigt eine Übersicht der Optionen.

Reale Matrix	Allgemeines	symmetrisch
Diagonalisierbar	Nicht immer	Immer
Durch	Regelmäßige Matrix	Orthogonale Matrix
Eigenwerte	Kann komplex sein	Immer echt
Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte	Linear unabhängig	Senkrecht
Degeneration	Möglich	Nicht möglich

Konkret enthält die diagonalisierende Matrix ${Anzeigestil P}$ als Spalten die Koordinaten der Eigenvektoren, und auf der Hauptdiagonale der Diagonalen Form ${Anzeigestil D}$ sind die Eigenwerte. In diesem Fall, ${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil D}$ die gleiche Reihenfolge von Eigenvektoren und Eigenwerten wird beibehalten. Das Element ${displaystyle D_{kk}}$ auf der Hauptdiagonalen von ${Anzeigestil D}$ muss daher ein Eigenwert sein und dieser Eigenwert gehört zu dem Eigenvektor, der sich im befindet k-die Spalte von ${Anzeigestil P}$ befindet sich.

Da man die Nummerierung von Eigenvektoren und zugehörigen Eigenwerten frei wählen kann, gibt es daher mehrere Lösungen für ${Anzeigestil P}$ und ${Anzeigestil D}$ indem Sie die Reihenfolge der Spalten in beiden Matrizen auf die gleiche Weise neu anordnen.

Siehe auch

• Jordanische Normalform