WikiDer > Полином Каждана – Люстига

Kazhdan–Lusztig polynomial

В математической области теория представлений, а Полином Каждана – Люстига является членом семьи целочисленные полиномы представлен Давид Каждан и Джордж Люстиг (1979). Они индексируются парами элементов у, ш из Группа Коксетера W, который, в частности, может быть Группа Вейля из Группа Ли.

Мотивация и история

Весной 1978 года Каждан и Люстиг учились Представления Springer группы Вейля алгебраической группы на -адические группы когомологий, связанные с классами унипотентной сопряженности. Они нашли новую конструкцию этих представлений над комплексными числами (Каждан и Люстиг, 1980a). Представление имело два естественных базиса, а матрица переходов между этими двумя базами по существу дается полиномами Каждана – Люстига. Сама конструкция их многочленов Кажданом – Люстигом более элементарна. Каждан и Люстиг использовали это, чтобы построить каноническая основа в Алгебра Гекке группы Кокстера и ее представлений.

В своей первой статье Каждан и Люстиг упомянули, что их многочлены связаны с отказом локальных Двойственность Пуанкаре за Разновидности Шуберта. В Каждан и Люстиг (1980b) они переосмыслили это с точки зрения когомологии пересечения из Марк Горески и Роберт Макферсон, и дал другое определение такого базиса в терминах размерностей некоторых групп когомологий пересечений.

Две базы для представительства Springer напомнили Каждану и Люстигу две базы для Группа Гротендик некоторых бесконечномерных представлений полупростых алгебр Ли, заданных формулой Модули Verma и простые модули. Эта аналогия и работа Йенс Карстен Янцен и Энтони Джозеф относящийся примитивные идеалы из обертывающие алгебры к представлениям групп Вейля, привел к гипотезе Каждана – Люстига.

Определение

Исправить группу Кокстера W с генераторной установкой S, и писать на длину элемента ш (наименьшая длина выражения для ш как продукт элементов S). В Алгебра Гекке из W имеет основу из элементов за над кольцом , с умножением, определяемым

Из второго квадратичного соотношения следует, что каждый генератор Тs обратима в алгебре Гекке с обратным Тs−1 = q−1Тs + q−1 − 1. Эти обратные удовлетворяют соотношению (Тs−1 + 1)(Тs−1q−1) = 0 (полученный умножением квадратичного соотношения для Тs к −Ts−2q−1), а также плести отношения. Отсюда следует, что алгебра Гекке имеет автоморфизм D что посылает q1/2 к q−1/2 и каждый Тs к Тs−1. В более общем смысле ; также D можно рассматривать как инволюцию.

Полиномы Каждана – Люстига. пyw(q) индексируются парой элементов у, ш из W, и однозначно определяется следующими свойствами.

  • Они равны 0, если ушЗаказ Брюа из W), 1 если у = ш, и для у < ш их степень не выше ((ш) − (у) − 1)/2.
  • Элементы
инвариантны относительно инволюции D алгебры Гекке. Элементы составляют основу алгебры Гекке как Z[q1/2, q−1/2]-модуль, называемый базисом Каждана – Люстига.

Чтобы установить существование полиномов Каждана – Люстига, Каждан и Люстиг предложили простую рекурсивную процедуру вычисления полиномов пyw(q) в терминах более элементарных многочленов, обозначенных рyw(q). определяется

Их можно вычислить с помощью рекурсивных соотношений

Тогда полиномы Каждана – Люстига можно вычислить рекурсивно, используя соотношение

используя тот факт, что два члена слева являются полиномами от q1/2 и q−1/2 без постоянные условия. Эти формулы утомительно использовать вручную для ранга выше 3, но они хорошо адаптированы для компьютеров, и единственное ограничение на вычисление полиномов Каждана – Люстига с их помощью состоит в том, что для большого ранга количество таких полиномов превышает емкость памяти компьютеров. .

Примеры

  • Если уш тогда пу,ш имеет постоянный член 1.
  • Если уш и (ш) − (у) ∈ {0, 1, 2} тогда пу,ш = 1.
  • Если ш = ш0 это самый длинный элемент конечной группы Кокстера тогда пу,ш = 1 для всех у.
  • Если W это группа Кокстера А1 или же А2 (или вообще любая группа Кокстера ранга не выше 2), тогда пу,ш равно 1, если уш и 0 в противном случае.
  • Если W это группа Кокстера А3 с генераторной установкой S = {а, б, c} с а и c еду на работу тогда пб,бакб = 1 + q и пac,acbca = 1 + q, приводя примеры непостоянных многочленов.
  • Простые значения полиномов Каждана – Люстига для групп низкого ранга не типичны для групп более высокого ранга. Например, для расщепленной формы E8 то сложнейший многочлен Люстига – Фогана (разновидность полиномов Каждана – Люстига: см. ниже)
  • Поло (1999) показал, что любой многочлен с постоянным членом 1 и целыми неотрицательными коэффициентами является многочленом Каждана – Люстига для некоторой пары элементов некоторой симметрической группы.

Гипотезы Каждана – Люстига

Полиномы Каждана – Люстига возникают как переходные коэффициенты между их каноническим базисом и естественным базисом алгебры Гекке. В Изобретения В статье также выдвинуты две эквивалентные гипотезы, известные теперь как гипотезы Каждана – Люстига, которые связывают значения их многочленов в 1 с представлениями комплексных полупростые группы Ли и Алгебры Ли, обращаясь к давней проблеме теории представлений.

Позволять W быть конечным Группа Вейля. Для каждого w ∈ W обозначим через Mш быть Модуль Верма наивысшего веса ш(ρ) − ρ где ρ - полусумма положительных корней (или Вектор Вейля), и разреши Lш его неприводимое частное, простой модуль наибольшего веса наивысшего веса ш(ρ) − ρ. Обе Mш и Lш являются локально-конечными весовыми модулями над комплексной полупростой алгеброй Ли грамм с группой Вейля W, и поэтому допускаем алгебраический характер. Запишем ch (Икс) для персонажа грамм-модуль Икс. Гипотеза Каждана – Люстига гласит:

куда ш0 - элемент максимальной длины группы Вейля.

Эти гипотезы были доказаны над алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 независимо Александр Бейлинсон и Джозеф Бернштейн (1981) и Жан-Люк Брылински и Масаки Кашивара (1981). Методы, представленные в ходе доказательства, направляли развитие теории представлений на протяжении 1980-х и 1990-х годов под названием теория геометрических представлений.

Замечания

1. Как известно, эти две гипотезы эквивалентны. Более того, Принцип перевода Борхо – Янцена подразумевает, что ш(ρ) − ρ можно заменить на ш(λ + ρ) − ρ для любого доминирующего целого веса λ. Таким образом, гипотезы Каждана – Люстига описывают кратности Жордана – Гельдера модулей Верма в любом регулярном интегральном блоке Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда. категория O.

2. Аналогичное толкование все коэффициентов полиномов Каждана – Люстига следует из Гипотеза Янцена, что примерно говорит о том, что отдельные коэффициенты пу, ш кратности Lу в некотором подфакте модуля Верма, определяемом канонической фильтрацией, Янценская фильтрация. Гипотеза Янцена в регулярном интегральном случае была доказана в более поздней статье Бейлинсон и Бернштейн (1993).

3. Дэвид Воган показал как следствие гипотез, что

и это Extj(Mу, Lш) исчезает, если j + (ш) + (у) нечетно, поэтому размеры всех таких Внешние группы в категории О определяются через коэффициенты многочленов Каждана – Люстига. Этот результат показывает, что все коэффициенты многочленов Каждана – Люстига конечной группы Вейля являются целыми неотрицательными числами. Однако положительность для случая конечной группы Вейля W было уже известно из интерпретации коэффициентов полиномов Каждана – Люстига как размерностей групп когомологий пересечений, независимо от гипотез. Наоборот, связь между полиномами Каждана – Люстига и Ext-группами теоретически может быть использована для доказательства гипотез, хотя такой подход к их доказательству оказался более трудным для выполнения.

4. Некоторые частные случаи гипотез Каждана – Люстига легко проверяются. Например, M1 - антидоминантный модуль Верма, который, как известно, является простым. Это означает, что M1 = L1, устанавливая вторую гипотезу для ш = 1, так как сумма сводится к одному члену. С другой стороны, первая гипотеза для ш = ш0 следует из Формула характера Вейля и формула для характер модуля Верма, вместе с тем, что все многочлены Каждана – Люстига равны 1.

5. Кашивара (1990) доказал обобщение гипотез Каждана – Люстига на симметризуемые Алгебры Каца – Муди.

Связь с когомологиями пересечений многообразий Шуберта

Посредством Разложение Брюа космос грамм/B алгебраической группы грамм с группой Вейля W является несвязным объединением аффинных пространств Иксш параметризованный элементами ш из W. Замыкания этих пространств Иксш называются Разновидности Шуберта, а Каждан и Люстиг, следуя предложению Делиня, показали, как выразить многочлены Каждана – Люстига через группы когомологий пересечений многообразий Шуберта.

Точнее, полином Каждана – Люстига пу,ш(q) равно

где каждый член справа означает: возьмем комплекс IC пучков, гипергомологии которых являются гомология пересечения из Сорт Шуберта из ш (закрытие ячейки Иксш), возьмем его когомологии степени 2я, а затем измерить размер ножки этого пучка в любой точке ячейки Иксу замыкание которого является многообразием Шуберта у. Группы нечетномерных когомологий не входят в сумму, потому что все они равны нулю.

Это дало первое доказательство того, что все коэффициенты многочленов Каждана – Люстига для конечных групп Вейля являются целыми неотрицательными числами.

Обобщение на реальные группы

Полиномы Люстига – Фогана (также называемые многочленами Каждана – Люстига или Полиномы Каждана – Люстига – Вогана.) были введены в Люстиг и Фоган (1983). Они аналогичны многочленам Каждана – Люстига, но адаптированы к представлениям настоящий полупростые группы Ли и играют важную роль в предположительном описании их унитарные двойники. Их определение более сложное, отражающее относительную сложность представлений реальных групп по сравнению со сложными группами.

Различие в случаях, непосредственно связанных с теорией представлений, объясняется на уровне двойные классы; или иным образом действия на аналоги комплекса многообразия флагов грамм/B куда грамм комплексная группа Ли и B а Подгруппа Бореля. Исходный (K-L) случай касается деталей разложения

,

классическая тема Разложение Брюа, а до этого Клетки Шуберта в Грассманиан. Случай L-V занимает реальная форма граммр из грамм, а максимальная компактная подгруппа Kр в этом полупростая группа граммр, и делает комплексирование K из Kр. Тогда релевантным объектом исследования является

.

В марте 2007 г. было объявлено[кем?] что Полиномы L – V были вычислены для раздельной формы E8.

Обобщение на другие объекты в теории представлений

Во второй статье Каждана и Люстига была установлена ​​геометрическая установка для определения полиномов Каждана – Люстига, а именно, геометрия особенностей многообразий Шуберта в разновидность флага. Большая часть более поздних работ Люстига исследовала аналоги многочленов Каждана – Люстига в контексте других естественных сингулярных алгебраических многообразий, возникающих в теории представлений, в частности, замыкания нильпотентные орбиты и разновидности колчана. Оказалось, что теория представлений квантовые группы, модулярные алгебры Ли и аффинные алгебры Гекке все они строго контролируются соответствующими аналогами многочленов Каждана – Люстига. Они допускают элементарное описание, но более глубокие свойства этих многочленов, необходимые для теории представлений, вытекают из сложных методов современной алгебраической геометрии и гомологическая алгебра, например, использование когомологии пересечения, извращенные снопы и Разложение Бейлинсона – Бернштейна – Делиня..

Предполагается, что коэффициенты многочленов Каждана – Люстига являются размерностями некоторых пространств гомоморфизмов в бимодульной категории Сёргеля. Это единственная известная положительная интерпретация этих коэффициентов для произвольных групп Кокстера.

Комбинаторная теория

Комбинаторные свойства полиномов Каждана – Люстига и их обобщений являются предметом активных текущих исследований. Учитывая их значение в теории представлений и алгебраической геометрии, были предприняты попытки развить теорию полиномов Каждана – Люстига чисто комбинаторным способом, опираясь в некоторой степени на геометрию, но без ссылки на когомологии пересечений и другие передовые методы. Это привело к захватывающим изменениям в алгебраическая комбинаторика, Такие как феномен избегания шаблонов. Некоторые ссылки даны в учебнике Бьёрнер и Бренти (2005). Монография исследования по теме Билли и Лакшмибай (2000).

По состоянию на 2005 г., не существует известной комбинаторной интерпретации всех коэффициентов полиномов Каждана – Люстига (как мощностей некоторых естественных множеств) даже для симметрических групп, хотя явные формулы существуют во многих частных случаях.

Рекомендации

внешняя ссылка