WikiDer > Doppelter Raum

In dem Lineare Algebra und der Funktionsanalyse, beide Teilbereiche der Mathematik, hat jeder Vektorraum${Anzeigestil V}$ ein entsprechendes Doppelraum (oder länger dualer Vektorraum) was von allen Uniformen (lineare Funktionale) auf ${Anzeigestil V}$ existiert, das heißt die lineare Bilder zum Körper (Ned) / Feld (Be) des Vektorraums.

Duale Vektorräume, die auf endlichdimensionalen Vektorräumen definiert sind, können verwendet werden, um zu definieren Tensoren, die in der Tensoralgebra. Bei Anwendung auf Vektorräume von Funktionen (die typischerweise unendlichdimensional sind), werden duale Räume verwendet, um Konzepte zu definieren und zu studieren wie Größen, Ausschüttungen und Hilbert-Räume. Folglich ist der duale Raum ein wichtiges Konzept im Studium der Funktionsanalyse.

Für jeden Vektorraum ist der Dualraum definiert, der in diesem Zusammenhang manchmal auch als algebraischer Dualraum bezeichnet wird. Ist der Vektorraum a topologischer Vektorraum, dann gibt es a Unterraum dieses (algebraischen) dualen Raums, des sogenannten topologischer Dualraum die durch die stetigen linearen Funktionale gebildet wird.

Definition

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über a Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$. Name ${Displaystil V^{*}}$ das Sammlung von Uniformen auf ${Anzeigestil V}$, das heißt, die lineare Bilder von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil K}$.Die Elemente von ${Displaystil V^{*}}$ kann punktweise addiert und punktweise mit einer konstanten out . multipliziert werden ${Anzeigestil K}$. Auf diese Weise entsteht eine Addition und eine Skalarmultiplikation, mit der ${Displaystil V^{*}}$ auch ein Vektorraum wird über ${Anzeigestil K}$. Dieser Vektorraum heißt de dualer Vektorraum (ebenfalls das duale oder das duale) von ${Anzeigestil V}$.

Zugehöriges bilineares Bild

Für jeden Vektorraum ${Anzeigestil V}$ gibt es die bilineares Bild${displaystyle B:V^{*}imes V o K}$, mit ${Anzeigestil B(v^{*},v)=v^{*}(v)}$. Manchmal wird die Notation ${displaystyle langle v^{*},vangle}$ benutzt.

Dual-Basis-Vektoren

Zu gegebener Zeit Base kann für jeden Basisvektor sein ${displaystyle b}$ ein dualer Basisvektor ${displaystyle b^{*}}$ sind definiert als die lineare Abbildung von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil K}$ was ist ein Vektor ${Anzeigestil v}$ von ${Anzeigestil V}$ zeigt auf dem Koeffizient von ${displaystyle b}$ in der Linearkombination wobei ${Anzeigestil v}$ wird in den Basisvektoren ausgedrückt. Besteht die Basis also aus den Vektoren ${displaystyle b_{1},b_{2},ldots ,b_{n}ldots}$ und

${displaystyle v=alpha _{1}b_{1} alpha _{2}b_{2} ldots alpha _{i}b_{i} ldots alpha _{N}b_{N}}$

dann ist

${displaystyle b_{i}^{*}(v)=alpha_{i}}$

Die dualen Basisvektoren sind linear unabhängig im ${Displaystil V^{*}.}$ Das Abmessungen von ${Displaystil V^{*}}$ ist also mindestens die von ${Displaystil V.}$

endlichdimensionaler Fall

wenn ${Anzeigestil V}$ ist endlich dimensional mit Dimension ${displaystyle n}$, bilden die dualen Basisvektoren ${displaystyle b_{1}^{*},ldots ,b_{n}^{*}}$ von der Basis ${displaystyle (b_{1},ldots,b_{n})}$ von ${Anzeigestil V}$ eine Basis von ${Displaystil V^{*}}$ Das Doppelbasis von ${Anzeigestil (b)}$ heiß. Das Abmessungen von ${Displaystil V^{*}}$ ist daher auch ${displaystyle n}$. Es gilt:

${displaystyle b_{i}^{*}(b_{j})=delta_{ij}}$,

mit ${displaystyle delta_{ij}}$ das Kronecker Delta

Für jedes Element ${Displayflosse V^{*}}$, mit Koeffizienten ${displaystyle (f_{i})}$ in Bezug auf diese Grundlage also:

${displaystyle f=f_{1}b_{1}^{*} Punkte f_{n}b_{n}^{*},}$

gilt:

${displaystyle f(b_{i})=f_{1}b_{1}^{*}(b_{i}) Punkte f_{n}b_{n}^{*}(b_{i})=f_{ ich}}$

Allgemeiner Fall

Bei einem unendlichdimensionalen Vektorraum ${Anzeigestil V}$ im Allgemeinen kann eine Doppelbasis nicht auf die obige Weise konstruiert werden. Nehme an, dass ${Anzeigestil (b_{i})_{i}}$ ist eine Grundlage von ${Anzeigestil V}$. Dann ist die lineare Abbildung ${Anzeigestil A:V oder K}$ definiert von ${Anzeigestil A(b_{i})=1}$ ein Element des dualen Raums ${Displaystil V^{*}.}$ Kann jedoch ${Anzeigestil A}$ kann nicht als (endliche!) Linearkombination der dualen Basisvektoren ausgedrückt werden ${displaystyle b_{i}^{*}.}$ Nehme an, dass

${displaystyle A=sum _{i=1}^{N}alpha _{i}b_{i}^{*},}$

dann würde

${displaystyle 1=A(b_{N 1})=Summe _{i=1}^{N}alpha _{i}b_{i}^{*}(b_{N 1})=0}$

wenn ${Anzeigestil K}$ ist endlich ${Anzeigestil V}$ abzählbar, aber ${Displaystil V^{*}}$unzählbar. Daraus folgt, dass jede Basis von ${Displaystil V^{*}}$ ist auch unzählbar.

Topologisches Dual

wenn ${Anzeigestil V}$ ein topologischer Vektorraum macht es Sinn, sich die Kollektion anzuschauen? kontinuierlich lineare Bilder von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil K.}$ Dies wiederum bildet einen topologischen Vektorraum mit der Topologie der punktweisen Konvergenz (de Tracktopologie des Produkttopologie auf ${Displaystil K^{V}}$).

Zur Unterscheidung spricht man von algebraisches duales beziehungsweise topologische dual. Der topologisch duale Vektorraum ist im Allgemeinen eine Teilmenge des algebraisch dualen Vektorraums. In den meisten Texten zur Funktionalanalysis spielt der algebraisch duale Raum keine Rolle, und der Begriff "dualer Raum" bezeichnet den dualen topologischen Vektorraum. Wenn keine Verwechslung möglich ist, wird die Sternnotation zu ${Displaystil V^{*}}$ auch für den topologisch dualen Raum von verwendet ${Displaystil V.}$

Innenprodukt

wenn ${Anzeigestil V}$ ist ein reeller oder komplexer Vektorraum mit a Innenprodukt (und deshalb mit gut definiert Konzepte senkrechte Position und Entfernung), dann definiert die Operation "rechtes inneres Produkt mit einem festen gegebenen Vektor" eine stetige lineare Abbildung von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil K.}$ Die Abbildung, die die entsprechende lineare Abbildung auf den festen gegebenen Vektor bezieht, ist a injektiv kontinuierliche lineare Abbildung von ${Anzeigestil V}$ zu ${Displaystil V^{*}}$ (linear hinzugefügt oder halblinear bei einem komplexen Produktinnenraum).

Als die Norm definiert durch das innere Produkt, völlig ist (d. h. wenn ${Anzeigestil V}$ ein Hilbert-Raum ist), dann ist diese stetige (semi)lineare Abbildung von ${Anzeigestil V}$ zu ${Displaystil V^{*}}$ ein bijektiv Isometrie.

Doppelmodul

Wenn wir den Körper nehmen ${Anzeigestil K}$ ersetzt durch a Ring${Anzeigestil R,}$ dann spricht man nicht mehr von Vektorräumen, sondern von Module. Bei der Definition des Dualraums haben wir die Reversibilität der Elemente von nicht ausgenutzt ${Anzeigestil K,}$ die Definition bleibt also gültig für die Doppelmodul${displaystyle M^{*}}$ eines bestimmten Moduls ${Anzeigestil M}$ über einen Ring ${Displaystil R.}$ Wie immer bei Modulen ist bei der Abwägung von Sockeln und Abmessungen Vorsicht geboten.

Abelsche Gruppen können als Module über den Ring der ganzen Zahlen verstanden werden und umgekehrt. Das duale abelsche Gruppe ist dann das Dualmodul im oben genannten Sinne.