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Das Laplace-Operator, ebenfalls Laplazianer genannt, ist ein Differentialoperator benannt nach dem FranzösischMathematikerPierre-Simon Laplace und mit dem Symbol ∆ gekennzeichnet. In dem Physik findet die Operator Bewerbung in der Beschreibung von Reproduktion von Wellen (Wellengleichung), Biene Wärmetransport und in der Elektrostatik in dem Laplace-Gleichung. In dem Quantenmechanik setzt den Laplace-Operator de kinetische Energie für in der Schrödinger-Gleichung. Das Funktionen für die der Laplace-Operator gleich Null ist, sind in der Mathematikharmonische Funktionen erwähnt.

Für ein SkalarFunktion${displaystyle f}$ auf einen ${displaystyle n}$-dimensionalEuklidischer Raum ist der Laplace-Operator definiert durch:

${displaystyle Delta f=sum _{i=1}^{n}{frac {teilweise ^{2}f}{teilweise x_{i}^{2}}}}$

Dies besagt ${displaystyle {frac {teilweise ^{2}}{teilweise x_{i}^{2}}}}$ für die zweite partielle Ableitung zum Variable${displaystyle x_{i}}$.

Als Operator schreibt man daher:

${displaystyle Delta =sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{i}^{2}}}}$.

Alternativ kann man schreiben:

${displaystyle Delta f=Operatorname {div} (Operatorname {grad} f)}$

Auch der Laplace-Operator (in rechtwinkligen Koordinaten) kann im Operator ausgedrückt werden nabla (∇):

${displaystyle Delta =abla ^{2}=abla cdot abla }$

Laplace in drei Dimensionen

Im Kartesischen Koordinaten,

${displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}} {frac {partial ^{2 }f}{teilweise z^{2}}}}$

Im Zylinderkoordinaten:

${displaystyle Delta f={1 über ho }{partiell über partiellem ho}left(ho {partial f über partiellem ho}ight) {1 über ho ^{2}}{partial ^{2}f über partiellem Varphi ^{2 }} {teilweise ^{2}f über teilweise z^{2}}}$

Im Kugelkoordinaten:

${displaystyle Delta f={1 über r^{2}}{partiell über partiellem r}left(r^{2}{partial f über partiellem rechts) {1 über r^{2}sin heta }{partial over partielle heta }links(sin heta {partielle f über partielle heta }ight) {1 über r^{2}sin ^{2} heta }{partial ^{2}f über partielle varphi ^{2}}}$

Beispiel

Sie ${displaystyle f:mathbb {R} ^{3} oder mathbb {R} }$ das Funktion definiert von

${Anzeigestil f(x,y,z)=x^{2} yz^{2}}$

Dann gilt:

${displaystyle Delta f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}} {frac {partial ^{2 }f}{teilweise z^{2}}}=2 0 2y=2 2y}$

Laplace-Operator für ein Vektorfeld

Für ein Vektorfeld${Anzeigestil A}$ ist der Laplace-Operator definiert als:

${displaystyle Delta A=abla (abla cdot A)-abla imes (abla imes A)=operatorname {grad} (operatorname {div} A)-operatorname {rot} (operatorname {rot} A)}$

im gewöhnlichen Kartesischen Koordinaten ist es das Vektorfeld, dessen Komponenten der Laplace-Operator der Komponenten von sind ${Anzeigestil A,}$ So:

${displaystyle Delta A=Delta { egin{bmatrix}A_{x}/A_{y}/A_{z}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}Delta A_{x}/Delta A_{y}/Delta A_ {z}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}{frac {teilweise ^{2}A_{x}}{teilweise x^{2}}} {frac {teilweise ^{2}A_{x}}{ partielles y^{2}}} {frac {partielles ^{2}A_{x}}{partielles z^{2}}}/{frac {partielles ^{2}A_{y}}{partielles x^{2 }}} {frac {teilweise ^{2}A_{y}}{teilweise y^{2}}} {frac {teilweise ^{2}A_{y}}{teilweise z^{2}}}/{frac {teilweise ^{2}A_{z}}{teilweise x^{2}}} {frac {teilweise ^{2}A_{z}}{teilweise y^{2}}} {frac {teilweise ^{2} A_{z}}{teilweise z^{2}}}Ende{bmatrix}}}$

Unicode

Der Laplace-Operator ist in . enthalten Unicode als U 2206.