WikiDer > Lineares Gehäuse

In dem Lineare Algebra ist wie ${Anzeigestil W}$ ein SammlungVektoren in einem Vektorraum${Anzeigestil V}$ ist der lineares Gehäuse oder lineare Spanne von ${Anzeigestil W}$ der Querschnitt von allem lineare Unterräume von ${Anzeigestil V}$ Das ${Anzeigestil W}$ enthalten. Er selbst ist auch ein linearer Unterraum. Es ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der Vektoren aus ${Anzeigestil W}$.

Beachten Sie die lineare Hüllkurve des ${Anzeigestil W}$ wenn ${displaystyle mathrm {span} (W),}$ abgeleitet vom englischen Namen lineare Spanne. Die Vektoren in ${Anzeigestil W}$ werde der überspannende Vektoren und die lineare Einhüllende heißt auch hervorgebracht.

Definition

Das lineare Shellhul ${displaystyle mathrm {span} (S)}$ einer Teilmenge ${Anzeigestil S}$ eines Vektorraums ${Anzeigestil V}$ ist der kleinste Unterraum von ${Anzeigestil V}$ Das ${Anzeigestil S}$ beinhaltet, also

${displaystyle Ssubseteq Dsubseteq V {m {en}} D {m {linearer Raum}} Pfeil nach links {m {span}}(S)subseteq D}$

Lineare Hüllkurve einer endlichen Menge von Vektoren

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über a Körper (in Belgien: Feld)${Anzeigestil K}$, dann die lineare Einhüllende der Vektoren ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}}$ im ${Anzeigestil V}$, das Unterraum

${displaystyle mathrm {span} (v_{1},ldots ,v_{n})={a_{1}v_{1} ldots a_{n}v_{n}:a_{1},ldots ,a_{n} in K}}$

Man beachte die lineare Einhüllende der Vektoren ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}}$ wenn ${displaystyle mathrm {span} (v_{1},ldots ,v_{n}).}$ Andere Notationen sind ${displaystyle langle v_{1},ldots ,v_{n}angle }$ und ${displaystyle [v_{1},ldots ,v_{n}].}$

Lineare Hüllkurve einer unendlichen Menge von Vektoren

Sie ${Anzeigestil V}$ ein Vektorraum über a Körper (in Belgien: Feld)${Anzeigestil K}$, dann ist die lineare Einhüllende von ${displaystyle Wsubset V}$, das Unterraum die aus den endlichen Linearkombinationen dieser Vektoren besteht.

${displaystyle mathrm {span} (W)={a_{1}w_{1} ldots a_{n}w_{n}:nin mathbb {N} ,w_{1},ldots ,w_{n}in W,a_ {1},ldots ,a_{n}in K}.}$

Sonderfälle

Bestimmtes:

• ${displaystyle mathrm {span} (varnothing )={0}}$
• ein Base eines Vektorraums hat als lineare Einhüllende den Vektorraum selbst

Weitere Funktionen

Als System von Vektoren ${Anzeigestil S}$unabhängig ist dann ${Anzeigestil S}$ ein Base des erzeugten Unterraums ${Displaystil U.}$

Allgemeiner gesagt, wenn der Vektorraum ${Displaystil U}$ wird vom System erzeugt ${Anzeigestil S,}$ enthält dann ${Anzeigestil S}$ eine Basis von ${Displaystil U.}$

Der Raum ${Displaystil U}$ bleibt die lineare Einhüllende von ${Anzeigestil S}$

• wenn einer an ${Anzeigestil S}$ ein Vektor von ${Displaystil U}$ fügt hinzu.
• extrahiert man einen Vektor ${Anzeigestil S}$, die eine Linearkombination der anderen Vektoren aus ist ${Anzeigestil S}$, umgezogen nach ${Displaystil U}$${Anzeigestil S}$.
• wenn einer in ${Anzeigestil S}$ multipliziert einen Vektor mit einer Zahl ungleich Null (Skalar).
• wenn man mit einem Vektor endet ${Anzeigestil S}$, ein anderer Vektor aus ${Anzeigestil S}$ summiert sich.