WikiDer > Nilpotente Matrix

In dem Lineare Algebra heißt a quadratische Matrixnilpotent als die Matrix ein paar mal mit sich selbst multipliziert das Nullmatrix ergibt.

Definition

Das ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ heiß nilpotent mit Index${Anzeigestil s}$ wenn

${Displaystil A^{s}=0}$ und ${Displaystil A^{s-1}eq 0}$.

Eigenschaften

• Der Index ${Anzeigestil s}$ eines nilpotenten ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ist kleiner oder gleich ${displaystyle n}$
• Das Eigenwerte einer nilpotenten Matrix sind alle gleich 0.
• Umgekehrt ist auch eine Matrix mit allen Eigenwerten gleich 0 nilpotent.
• Das bestimmend und der Spur einer nilpotenten Matrix sind 0.
• Eine nilpotente Matrix ist es nicht invertierbar;
• EIN obere Dreiecksmatrix oder untere Dreiecksmatrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale 0 ist nilpotent.

Beispiele

Für die Matrix ${displaystyle A={ egin{bmatrix}0&1/0&0end{bmatrix}}}$ gilt: ${displaystyle A^{2}={ egin{bmatrix}0&0/0&0end{bmatrix}}}$, So ${Anzeigestil A}$ ist nilpotent mit Index 2

Für die Matrix ${displaystyle B={ egin{bmatrix}0&1&7/0&0&2/0&0&0end{bmatrix}}}$ gilt: ${displaystyle B^{2}={ egin{bmatrix}0&0&2/0&0&0/0&0&0end{bmatrix}}}$ und ${displaystyle B^{3}={ egin{bmatrix}0&0&0/0&0&0/0&0&0end{bmatrix}}}$, So ${Anzeigestil B}$ ist nilpotent mit Index 3.