WikiDer > Normaler Vektor

Ein Normalenvektor einer 3D-Oberfläche an einem Punkt ist ein Normalenvektor von der Tangentialebene durch diesen Punkt zur Oberfläche durch diesen Punkt.

EIN normaler Vektor eines Objekts ist im Allgemeinen a Vektor, anders als die Nullvektor, Das aufrecht ist auf diesem Objekt.

Im dreidimensionalen euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ existiert eine eben von den Punkten ${Anzeigestil(x,y,z)}$ mit

${Displaystyle Axt von cz=d}$

für bestimmte Zahlen ${Anzeigestil a,b,c,d}$. Das Flugzeug ist ein lineare Vielfalt von der Ebene durch den Ursprung (linearer Unterraum) im Abstand ${displaystyle d}$, gegeben durch die Gleichung

${displaystyle axt von cz=0}$

Dies zeigt, dass alle Punkte in dieser Ebene senkrecht zum Vektor stehen ${Anzeigestil (a,b,c)}$, also Normalenvektor, auch der parallelen Ebenen im Abstand ${displaystyle d}$.

Ein Normalenvektor auf a Oberfläche in drei Dimensionen in a Punkt dieser Fläche ist ein Normalenvektor des Schnittstelle durch diesen Punkt zur Oberfläche durch diesen Punkt.

Das Konzept des Normalenvektors wird auch für verwendet Hyperebenen und Hyperflächen im Leerzeichen mit einem höheren Abmessungen als drei.

Benutzen

Normalenvektoren können unter anderem verwendet werden:

• das Flugzeug zu beschreiben. Der Angriffspunkt und die Richtung des Normalenvektors definieren die eben.
• um die Ecke Berechne den Winkel zwischen zwei Ebenen oder den Winkel zwischen einer Ebene und einer Linie,
• für Kreis- und Flächenintegrale, zum Beispiel die Maxwells Gesetze und
• in dreidimensionalen Visualisierungen.

Berechnung

• In einer Ebene mit Gleichung ${displaystyle axt von cz d=0}$ ist der Vektor ${Anzeigestil {vec {n}}=(a,b,c)}$ ein normaler Vektor.
• Der Normalenvektor wird verwendet, um die Abstand von einem Punkt zu einer Linie oder im dreidimensionalen Raum die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene berechnen.
• Wenn eine Fläche in drei Dimensionen implizit durch die Beziehung ${Anzeigestil F(x,y,z)=0}$, ist ein Normalenvektor an einem Punkt ${displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ der Oberfläche die Gradient an diesem Punkt: ${displaystyle (abla F)(x_{0},y_{0},z_{0})=(F'_{x}(P),F'_{y}(P),F'_{z} (P))}$
• Ist die Oberfläche beschrieben durch die Funktion${Anzeigestil z=f(x,y)}$, dann folgt aus obigem, mit ${Anzeigestil F(x,y,z)=z-f(x,y)}$ dass ein Normalenvektor im Punkt ${displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ gegeben von ${displaystyle {vec {n}}=(-f'_{x}(x_{0},y_{0}),-f'_{y}(x_{0},y_{0}),1) }$.
  Die Schnittstelle in ${Anzeigestil P}$ wird durch die Gleichung bestimmt:

${displaystyle f'_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) f'_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0 })-(z-z_{0})=0}$

Es ist die lineare Mannigfaltigkeit mit Stützvektor ${Anzeigestil P}$ des von den Vektoren aufgespannten Unterraums:

${displaystyle {vec {f_{x}}}{}'={frac {teilweise {vec {f}}}{teilweise x}}(x_{0},y_{0})=(1,0,f' _{x}(x_{0},y_{0}))}$ und ${displaystyle {vec {f_{y}}}{}'={frac {teilweise {vec {f}}}{teilweise y}}(x_{0},y_{0})=(0,1,f' _{y}(x_{0},y_{0}))}$

mit ${Anzeigestil {vec {f}}(x,y)=(x,y,f(x,y))}$.

Es ist leicht zu sehen, dass beide Vektoren aufrecht liegen auf dem Normalenvektor ${displaystyle {vec {n}}}$:

${displaystyle {vec {n}}cdot {vec {f_{x}}}{}'=0}$ und ${displaystyle {vec {n}}cdot {vec {f_{y}}}{}'=0}$

Der Normalenvektor ${displaystyle {vec {n}}}$ ist es auch Kreuzprodukt der beiden partiellen Ableitungen von ${displaystyle {vec {f}}(x,y)}$:

${displaystyle {vec {f_{x}}}{}' imes {vec {f_{y}}}{}'=(-f'_{x}(x_{0},y_{0}),-f '_{y}(x_{0},y_{0}),1)={vec {n}}}$

• Ein Normalenvektor hat ein assoziiertes standardisiert Normalenvektor (auch Einheitsnormalenvektor genannt) in die gleiche Richtung, aber mit der Länge 1. Eine Ebene hat zwei Einheitsnormalenvektoren, die gegensätzlich sind.

Existieren

Natürlich gibt es nicht überall einen Normalenvektor, a Kegel zum Beispiel hat in seinem oben kein Normalenvektor.

Siehe auch

• Hessische Normalgleichung

Webseiten

• Wikibooks. Vektorgeometrie.