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Raakvlak

Es Schnittstelle zu einer Oberfläche in drei Maße in einem Punkt dieser Fläche ist die Menge aller Rechte durch diesen Punkt und an diesem Punkt senkrecht zum lokalen normaler Vektor an der Oberfläche stehen. Es ist eine Erweiterung des Konzepts in drei Dimensionen Tangente auf einer wohnung Kurve. Es ist auch ein Sonderfall des allgemeineren Berührungsraum im ${displaystyle n}$ Maße.

Schnittstelle zu einer implizit gegebenen Fläche

Vergleich

Angenommen, eine Fläche ist in drei Dimensionen durch die Gleichung gegeben:

{Anzeigestil F(x,y,z)=0}

Diese Regel erlegt den drei Koordinaten eine gemeinsame Bedingung auf, sodass nur zwei unabhängig voneinander ausgewählt werden können

{Anzeigestil P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}

sei ein Punkt, der auf dieser Fläche liegt, und die drei partielle Ableitungen von ${Anzeigestil F}$ existieren zu diesem Zeitpunkt und nicht alle drei sind gleichzeitig Null. Dann kann man das alles beweisen Tangenten an diesem Punkt senkrecht zum Vektor

{displaystyle {vec {n}}_{0}=left({frac {partial F}{partial x}}(P_{0}),{frac {partial F}{partial y}}(P_{0}) ,{frac {partial F}{partial z}}(P_{0})ight)}

Stand. Beachten Sie, dass dieser Vektor nur von der gegebenen Fläche und dem gewählten Punkt abhängt. Die Tangenten bilden dann zusammen die Tangentenebene und der Vektor ${displaystyle {vec {n}}_{0}}$ ist der normaler Vektor dieser Schnittstelle. Die kartesische Gleichung der Tangentialebene am gegebenen Punkt lautet dann:

{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}(P_{0})(x-x_{0}) {frac {partial F}{partial y}}(P_{0})(y-y_{0 }) {frac {teilweise F}{teilweise z}}(P_{0})(z-z_{0})=0}

Beispiel

Denke darüber nach Oberfläche

{displaystyle x^{2}y-3z=1}

und der punkt

{Anzeigestil P_{0}=(2,1,1)}

auf dieser Oberfläche. Die Drei partielle Ableitungen sein:

{displaystyle(2xy,,x^{2},,-3)}

Das Ausfüllen der Koordinaten des Punktes ergibt das lokale normaler Vektor

{displaystyle(4,,4,-3)}

Die Schnittstelle an der genannten Stelle ist daher:

{Anzeigestil 4(x-2) 4(y-1)-3(z-1)=0}

Schnittstelle zu einer durch zwei Parameter bestimmten Oberfläche

Vergleich

Der Normalenvektor (grün) an einem Punkt auf einer Fläche erhält man als Vektorprodukt zweier Tangentenvektoren (rot und blau) auf der Fläche. Jeder dieser Tangentenvektoren wird als Tangentenvektor an eine Raumkurve erzeugt, die erzeugt wird, indem einer der Parameter konstant gehalten wird.

Eine Oberfläche ${Anzeigestil S}$ in drei Dimensionen kann auch durch drei Koordinaten beschrieben werden ${Anzeigestil(x,y,z)}$ die eine Funktion von ein paar unabhängigen Parametern sind ${Anzeigestil (u,v)}$ . Dies ist ein Beispiel für ein sogenanntes parametrische Gleichung, die in diesem Fall die folgende Form hat:

{displaystyle S:{ zBin{matrix}f(u,v)/g(u,v)/h(u,v)end{matrix}}}

Ein Punkt ${displaystyle P_{0}}$ an der Oberfläche ${Anzeigestil S}$ wird nun durch zwei Werte bestimmt ${displaystyle u_{0}}$ und ${displaystyle v_{0}}$ die die Koordinaten dieses Punktes nach den obigen Regeln bestimmen. Ein Punkt auf der Oberfläche ${Anzeigestil S}$ kann daher geschrieben werden als:

{Anzeigestil P_{0}=(f(u_{0},v_{0}),g(u_{0},v_{0}),h(u_{0},v_{0}))}

Inzwischen in den Gleichungen der Fläche ${Anzeigestil S}$ Versuchen Sie zuerst den zweiten Parameter konstant ${displaystyle v=v_{0}}$ behalten, erhält man a Raumkurve ${displaystyle K_{1}}$ die in der Oberfläche liegt und mit dem ersten Parameter durchlaufen wird ${displaystyle u}$ . Diese Raumkurve geht durch den Punkt ${displaystyle P_{0}}$ und erreicht diesen Punkt insbesondere, wenn ${displaystyle u=u_{0}}$ . Diese Raumkurve ist also:

{displaystyle K_{1}:{ egin{matrix}f(u,v_{0})/g(u,v_{0})/h(u,v_{0})end{matrix}}}

Die Richtung der Tangente an eine Raumkurve wird im Allgemeinen durch den Vektor angegeben, der aus partiellen Ableitungen zu ihrem Parameter besteht. Folglich wird der Tangentenvektor am Punkt ${displaystyle P_{0}}$ zu dieser Raumkurve wird dann durch die partiellen Ableitungen bestimmt:

{displaystyle T_{1}=[f'_{u}(u_{0},v_{0}),,g'_{u}(u_{0},v_{0}),,h'_{ u}(u_{0},v_{0})]}

Auf die gleiche Weise, sobald der Parameter ${displaystyle u}$ um konstant zu bleiben, eine Sekunde Raumkurve ${displaystyle K_{2}}$ nach dem punkt ${displaystyle P_{0}}$ bekomme es nur aus dem zweiten Parameter ${Anzeigestil v}$ hängt davon ab. Der Tangentenvektor an diese zweite Raumkurve ist dann analog:

{displaystyle T_{2}=[f'_{v}(u_{0},v_{0}),,g'_{v}(u_{0},v_{0}),,h'_{ v}(u_{0},v_{0})]}

Diese beiden Tangentenvektoren liegen in der gewünschten Tangentenebene, und folglich ist ihre Vektorprodukt :

{Displaystil T=T_{1} imes T_{2}=(A,B,C)}

senkrecht zu dieser Schnittstelle. Diese Vektorprodukt kann daher als dienen normaler Vektor der Schnittstelle, die somit vollständig bekannt ist:

{Anzeigestil A(x-x_{0}) B(y-y_{0}) C(z-z_{0})=0}

Beispiel

Der Punkt

{Displaystil P_{0}=(13.6,9)}

auf der Raumkurve gegeben durch:

{displaystyle { egin{matrix}x=u^{2} 4v/y=2uv/z=uv^{2}end{matrix}}}

hat die Parameterwerte ${displaystyle u=1}$ und ${Anzeigestil v=3}$ .Die partiellen Ableitungen zu ${displaystyle u}$ in diesen Parameterwerten geben Sie einen ersten Tangentenvektor an: