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EIN Wegintegral ist ein vom Physiker Richard Feynman 1948 ins Leben gerufen mathematisch Verständnis für die nicht-relativistischen Quantenmechanik in der Lage sein, in Bezug auf die . formulieren Aktion (entspricht dem zeitlichen Integral der Lagrange) aus der Klassik Mechanik.

Die nichtrelativistische Quantenmechanik assoziiert mit jedem möglichen Zustand eines Systems, a komplexe Zahl. Das Wellenfunktion Die Generierung dieser Zahlen sagt die Wahrscheinlichkeit voraus, dass sich das System in einem bestimmten Zustand befindet.

Feynman verbindet sich mit allem Möglichen Evolution des Systems a komplexe Zahl. Dies bedeutet eine Funktion auf einem unendlichdimensionalen Raum, auch wenn das System selbst eine endliche Anzahl von Teilchen in drei geometrischen Dimensionen umfasst. Das so entstandene „Wellenfunktional“ sagt ihm zufolge die Wahrscheinlichkeit voraus, dass das System einer bestimmten zeitlichen Entwicklung folgt.

Abgesehen von einem Proportionalitätsfaktor ist die Wellenfunktion von Feynmanfunction

${displaystyle exp left({i over h}int _{0}^{t}L({dot {x}}(s),x(s),s),mathrm {d} Anblick)}$

wahr ${Anzeigestil L}$ ist die Lagrange-Funktion, und ${displaystyle x:[0,t] oder mathbb {R} :smapsto x(s)}$ eine mögliche Entwicklung des Systems zwischen den Zeiten ${Anzeigestil 0}$ und ${displaystyle t}$. (Als Zustandsraum ist die reelle Achse ${displaystyle mathbb {R} }$ gewählt, das ist natürlich auch möglich ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ oder eine allgemeine glatte Vielfalt sein.)

Beispiel

Für eine Punktmasse ${displaystyle m}$ an einer Position s in einem konservativen Energiepotential ${Anzeigestil V}$ ist die Lagrange-Funktion der Unterschied zwischen kinetisch und potenzielle Energie:

${displaystyle L={ frac {1}{2}}m{{dot {x}}(s)}^{2}-V(x(s))}$

Matheproblem

Die Addition aller möglichen Entwicklungen, die zu einer gegebenen Beobachtung führen, erfordert ein Integral über einen unendlich-dimensionalen Parameter. Feynman selbst bemerkt dies als

${displaystyle int _{omega }exp left({i over h}int _{0}^{t}L({dot {omega }}(s),omega (s),s),mathrm {d} Anblick) Mathe {d} omega }$

und besagt, dass die Integrationsvariable ${Anzeigestil Omega}$ "variiert über alle möglichen differenzierbaren Zeitentwicklungen des Systems mit gegebenen Anfangs- und Endbedingungen".

Eine mathematisch konsistente Formulierung ist nicht offensichtlich. Es wurden mehrere Vorschläge gemacht, um den Pfadintegralen von Feynman einen strengen mathematischen Rahmen zu geben. Die beiden am häufigsten zitierten Interpretationen sind:

• das Konzept verallgemeinern Fresnel-Integral zu unendlich dimensionalen Räumen;
• formulieren Sie die Theorie in Bezug auf braunes Uhrwerk und der Wienerintegral.

Die erste Näherung (verallgemeinertes Fresnel-Integral) kommt der ursprünglichen Formulierung von Feynman am nächsten, erfordert jedoch strenge Bedingungen an die Aktionsfunktion, um sinnvolle konvergente Integrale zu erhalten.

Die zweite Näherung weicht in zweierlei Hinsicht vom Feynman-Integral ab: (1) der Faktor ${Anzeigestil i}$ im Exponenten ist ${Anzeigestil -1}$ ersetzt, und (2) das Integral erstreckt sich über alle kontinuierlich Evolutionen des Systems, bei denen die differenzierbaren Evolutionen in der Minderheit sind (technisch bilden sie a Nullmenge für die Wiener Größe). Es ist jedoch die mächtigste Formulierung, da viele Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie innerhalb des starren Rahmens der Brownschen Bewegung verfügbar sind. sehen Feynman-Kac-Formalismus.

Anwendung

Trotz der flou artistique rund um die mathematische Strenge von Pfadintegralen haben sie zu sehr konkreten bahnbrechenden Ergebnissen in der Physik geführt, unter anderem bei der Formulierung der Quantenelektrodynamik.

Siehe auch

• Aktion
• Prinzip der kleinsten Wirkung

Verweise

1. R.P.Feynman, Raum-Zeit-Ansatz zur nichtrelativistischen Quantenmechanik, Rezension zu moderner Physik Bd. 20 (1948), S. 367 ff.
2. Richard P. Feynman und Albert R. Hibbs, "Quantum Mechanics and Path Integrals", McGraw-Hill 1965.