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In dem Mechanik ist der lagrange ein Funktion von sog verallgemeinerte Koordinaten und verallgemeinerte Geschwindigkeiten, die zusammen mit einem Paar Differentialgleichung kann benutzt werden um Bewegungsgleichungen aus einem System abgeleitet. Genauer gesagt ist der Larangian die Differenz zwischen den kinetisch und der potenzielle Energie vom System. Diese Methode zur Bestimmung des Verhaltens eines Systems heißt Lagrange-Formalismus benannt, nach dem MathematikerJoseph-Louis Lagrange wer hat es reingesteckt? 1782 eingeführt. Das Integral des Lagrange-Operators über die Zeit ergibt die Aktion eines Systems.

Mathematische Formulierung

Ein System mit ${Displaystil N}$ unterscheidbare Objekte bewegt sich durch die 3-dimensionalPlatz, so dass die Position dieses Systems prinzipiell mit 3N-Koordinaten beschrieben werden kann. Oft hat das System Einschränkungen in seinen Bewegungsmöglichkeiten, die als „Einschränkungen“ bezeichnet werden. Diese Beschränkungen können sich auf die gegenseitigen Bewegungen der unterscheidbaren Teile und auf die Bewegungen des gesamten Systems durch den dreidimensionalen Raum beziehen. Ist die Anzahl der Einschränkungen ${displaystyle k}$, dann kann die Ist-Position sein ${Anzeigestil 3N-k=n}$verallgemeinerte Koordinaten${displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}}$ beschrieben, in dem diese „Einschränkungen“ berücksichtigt werden. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems ist dann ${Anzeigestil n.}$ Der Vorteil dieser verallgemeinerten Koordinaten besteht darin, dass sie voneinander unabhängig sind. Es ist jedoch eine Konvertierung von der Standardeinstellung erforderlich Kartesisches Koordinatensystem zum ausgewählten verallgemeinerten Koordinatensystem. Dies wird zum Beispiel wahrscheinlich den relativ einfachen Ausdruck für die kinetische Energie einer Punktmasse verkomplizieren.

Ein Beispiel ist ein Warenkorb auf a Achterbahn, die sich im 3-dimensionalen Raum bewegt, aber trotzdem nur 1 Freiheitsgrad hat, weil die Schienen nicht verlassen werden können (wenn alles gut geht). Das einzige ${Anzeigestil q}$-Koordinate dieses Wagens ist die entlang der Schienen zurückgelegte Strecke.

Zwei lose Murmeln, die in einer Schüssel hin und her rollen, sind ein weiteres Beispiel. Wenn diese Schüssel einen kugelförmigen Boden hat, ist es sinnvoll, Kugelkoordinaten vorbei zu gehen. Die Position jeder Murmel kann mit zwei Koordinaten auf der Unterseite beschrieben werden, so dass das System aus zwei Murmeln insgesamt 4 Freiheitsgrade hat. Wenn die Murmeln durch einen starren Stab miteinander verbunden sind, muss dies in einer zusätzlichen „Beschränkung“ ausgedrückt werden, die auf Kosten eines Freiheitsgrades geht. Es bleiben dann drei Freiheitsgrade: zwei für die Lage des Schwerpunkts dieser Konstruktion auf der Unterseite und einer für ihre Drehlage in der Brettoberfläche.

Das Derivate dieser unabhängigen Variablen zu den Zeit (die verallgemeinerten Geschwindigkeiten) werden mit bezeichnet ${displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{n}}$. die jetzige Bewegungszustand des Systems ist in den Istwerten von . festgelegt ${displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}}$ und ${displaystyle {dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{n}}$. Das kinetische Energie${Anzeigestil T}$ des Systems kann in diesen verallgemeinerten Geschwindigkeiten ausgedrückt werden:

${displaystyle T=T({dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{n})}$

und der potenzielle Energie${Anzeigestil V}$ im Allgemeinen, wenn:

${displaystyle V=V(q_{1},q_{2},ldots ,q_{n},{dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot { q}}_{n})}$

In einem konservativ ein System, in dem keine kinetische oder potentielle Energie durch Reibung verloren geht, ist ${Anzeigestil V}$ unabhängig von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten:

${Anzeigestil V=V(q_{1},q_{2},ldots,q_{n})}$

Physikalische Definition

In der klassischen Mechanik ist der Larangian is ${Anzeigestil L}$ definiert als Differenz der kinetischen Energie ${Anzeigestil T}$ und die potentielle Energie ${Anzeigestil V}$

${Anzeigestil L_{r}=T-V=L_{r}({vec {r}},{dot {vec {r}}},t)}$

Der Larangian ist eine Funktion von Ort, Geschwindigkeit und Zeit.

Unter Annahme der klassischen Bewegungsgleichung von Newton daraus kann abgeleitet werden, dass die bestimmtes Integral über die Zeit des Larangian ${Anzeigestil L}$ muss einen Extremwert haben. Dies ist das Aktion-Integral. Hier sind die Standard-Orts- und -Geschwindigkeitsvektoren ${displaystyle {vec {r}}}$ und ${displaystyle {dot {vec {r}}}}$ mit Hilfe von ${displaystyle k}$ Einschränkungen umgewandelt in ${displaystyle n}$ verallgemeinerte Variablen ${displaystyle q_{i}}$ und ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}}$, mit ${displaystyle 1leq ileq n}$.

Mit diesem Maupertuis' Prinzip der kleinsten Wirkung entweder Aktion mathematisch formuliert als Standardproblem der Variationskonto. Dank der gegenseitigen Unabhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten ${displaystyle q_{i}}$ und die dazugehörigen verallgemeinerten Tarife ${displaystyle {Punkt {q}}_{i}}$ Dies führt zu einem System von ${displaystyle n}$Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen 2. Ordnung:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial L_{q}}{partial {dot {q}}_{i}}}ight)-{frac {partial L_{q}}{teilweise q_{i}}}=0vierfach (i=1,2,ldots ,n)}$

Aus einer Bewegungsgleichung kann unter Verwendung von Anfangsbedingungen der Bewegungszustand als Funktion der Zeit im verallgemeinerten Koordinatensystem.

Beispiele

Federmasse

Wir betrachten ein Objekt mit Masse${displaystyle m}$ an einer Feder mit Federkonstante ${Anzeigestil C}$ und entspricht den Hookes Gesetz. Die Dehnung der Feder wird mit 1 verallgemeinerten Koordinate beschrieben ${Anzeigestil u}$ in einer Längeneinheit, mit zugehöriger verallgemeinerter Geschwindigkeit ${displaystyle {Punkt {u}}}$, die die folgende Einschränkung definiert: Masse ${displaystyle m}$ kann sich nur entlang einer geraden Linie im dreidimensionalen Raum bewegen. In diesem System ist die kinetische Energie gleich

${displaystyle T={ frac {1}{2}}m{dot {u}}^{2}}$

und die potentielle Energie ist

${displaystyle V={ frac {1}{2}}Cu^{2}}$

Dies bedeutet, dass der Larangian gegeben ist durch

${displaystyle L=T-V={ frac {1}{2}}m{dot {u}}^{2}-{ frac {1}{2}}Cu^{2}}$

Das partielle Ableitung von ${Anzeigestil L}$ zu ${displaystyle {Punkt {u}}}$ ist ${displaystyle m{dot {u}}}$, und die partielle Ableitung nach ${Anzeigestil u}$ ist ${displaystyle -Cu}$. Das Euler-Lagrange-Gleichung des Systems wird

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(m{dot {u}}) Cu=0}$

Wenn die Massen ${displaystyle m}$ konstant ist, ist dies eine gewöhnliche lineare 2. OrdnungDifferentialgleichung, deren Lösung eine ungedämpfte Schwingung ist.

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

Die potentielle Energie eines Teilchens mit Ladung ${Anzeigestil q}$ mit einem Geschwindigkeitsvektor ${displaystyle {vec {u}}}$ durch einen skalaren elektrischen bewegen Potenzialfeld${Anzeigestil Varphi }$ ist ${displaystyle qcdot varphi }$ damit der Larangian einfach folgt

${displaystyle L={ frac {1}{2}}m{vec {u}}cdot {vec {u}}-qvarphi }$

Wenn jedoch auch eine Vektorgröße ${Anzeigestil B}$, die magnetische Induktion, vorhanden ist, wird die Situation komplizierter. Schließlich kann einem geladenen Teilchen in einem Magnetfeld keine potentielle Energie zugeordnet werden. Da das Magnetfeld die Bewegung des Teilchens beeinflusst, muss der Larangian wie folgt erweitert werden:

${displaystyle L={ frac {1}{2}}mu^{2}-qvarphi q{vec {u}}cdot {vec {A}}}$

mit ${Anzeigestil A}$ das magnetisches Vektorpotential zum Feld gehörend ${Anzeigestil B.}$ Die Beziehung zwischen dieser Potentialfunktion und der magnetischen Induktion ist:

${displaystyle {vec {B}}=abla imes {vec {A}}}$

Und das mit der elektrischen Feldstärke:

${displaystyle {vec {E}}=-abla varphi -{frac {teilweise {vec {A}}}{teilweise t}}}$

Der Bewegung des geladenen Teilchens sind hier keine Beschränkungen auferlegt, also die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten ${Anzeigestil x,,y}$ und ${Anzeigestil z}$ können als verallgemeinerte Koordinaten für den Geschwindigkeitsvektor verwendet werden ${displaystyle {vec {u}}}$, mit zugehörigen verallgemeinerten Raten ${displaystyle {Punkt {x}},,{Punkt {y}},,{Punkt {z}}}$.

Das ${Anzeigestil x}$Komponente der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wird dann:

${displaystyle {frac {mathrm {d}} }{mathrm {d} t}}{frac {partial L}{partial {dot {x}}}}}={frac {partial L}{partial x}}}$

Auffüllen der Lagrange-Ausbeute mit ${displaystyle u^{2}={dot {x}}^{2} {dot {y}}^{2} {dot {z}}^{2}}$.

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(m{dot {x}} qA_{x})=-q{frac {partial varphi }{partial x}} q{frac {partial }{teilweise x}}({Punkt {x}}A_{x} {Punkt {y}}A_{y} {Punkt {z}}A_{z})}$

${displaystyle m{ddot {x}} q{frac {partial A_{x}}{partial t}}=-q{frac {partial varphi }{partial x}} qleft({dot {x}}{frac {partial A_{x}}{teilweise x}} {Punkt {y}}{frak {teilweise A_{y}}{teilweise x}} {Punkt {z}}{frak {teilweise A_{z}}{teilweise x}} ach)}$

oder nach Umordnung

${displaystyle m{ddot {x}}=-qleft({frac {partial varphi }{partial x}} {frac {partial A_{x}}{partial t}}ight) qleft[{dot {y}}left( {frac {partial A_{y}}{partial x}}-{frac {partial A_{x}}{partial y}}ight) {dot {z}}left({frac {partial A_{z}}{partial x}}-{frac {teilweise A_{x}}{teilweise z}}ight)ight]}$.

Passen Sie nun das Verhältnis zwischen der elektrischen Feldstärke an ${Anzeigestil E}$ und die magnetische Induktion ${Anzeigestil B}$ einerseits und das Vektorpotential ${Anzeigestil A}$ andererseits:

${displaystyle m{ddot {x}}=qE_{x} q({dot {y}}B_{z}-{dot {z}}B_{y})}$

Das ist genau das ${Anzeigestil x}$Komponente der Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld. Ähnliches folgt für die anderen Komponenten, was den vorgeschlagenen Larangian rechtfertigt.

Wenn die Geschwindigkeit des Teilchens relativ zur Lichtgeschwindigkeit nicht klein ist, ist die relativistisch lagrange^[1]:

${displaystyle L=-{mc^{2} über Gamma}-qvarphi q{vec {u}}cdot {vec {A}}}$,

in welchem ${Displaystil-Gamma =(1-u^{2}/c^{2})^{-1/2}}$ das Lorentzfaktor ist. Siehe weiter lagrange im Artikel Elektrodynamik.

Anwendung in der Quantenmechanik

Der amerikanische Nobelpreisträger Richard Feynman 1948 mit seinem Pfadintegrale eine sehr elegante Verbindung zwischen dem Larangian eines mechanischen Systems und dem quantenmechanischeWellenfunktion desselben Systems.

Siehe auch

• Euler-Lagrange-Gleichung
• Aktion
• Prinzip der kleinsten Wirkung

Referenz