WikiDer > Треугольник Паскаля - Википедия

${ Displaystyle { begin {array} {c} 1 1 quad 1 1 quad 2 quad 1 1 quad 3 quad 3 quad 1 1 quad 4 quad 6 quad 4 quad 1 1 quad 5 quad 10 quad 10 quad 5 quad 1 1 quad 6 quad 15 quad 20 quad 15 quad 6 quad 1 1 quad 7 quad 21 quad 35 quad 35 quad 21 quad 7 quad 1 end {array}}}$

Диаграмма, показывающая треугольник Паскаля со строками от 0 до 7.

В математика, Треугольник Паскаля это треугольная решетка из биномиальные коэффициенты что возникает в теории вероятностей, комбинаторике и алгебре. В большей части западный мир, назван в честь французского математика Блез Паскаль, хотя другие математики изучал его за столетия до него в Индии,^[1] Персия,^[2] Китай, Германия и Италия.^[3]

Строки треугольника Паскаля условно нумеруются, начиная с row п = 0 вверху (0-я строка). Записи в каждой строке нумеруются слева, начиная с k = 0 и обычно располагаются в шахматном порядке относительно чисел в соседних строках. Треугольник может быть построен следующим образом: В строке 0 (самая верхняя строка) есть уникальная ненулевая запись 1. Каждая запись каждой последующей строки создается путем добавления числа вверху и слева с номером вверху и к справа, обрабатывая пустые записи как 0. Например, начальное число в первой (или любой другой) строке равно 1 (сумма 0 и 1), тогда как числа 1 и 3 в третьей строке складываются для получения цифра 4 в четвертом ряду.

Формула

В треугольнике Паскаля каждое число представляет собой сумму двух чисел прямо над ним.

Запись в пй ряд и k-й столбец треугольника Паскаля обозначается ${ displaystyle { tbinom {n} {k}}}$. Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке ${ displaystyle { tbinom {0} {0}} = 1}$. С этими обозначениями конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом:

${ Displaystyle {п выбрать k} = {n-1 выбрать k-1} + {n-1 выбрать k}}$,

для любого неотрицательного целого числа п и любое целое число k от 0 до п, включительно.^[4] Это повторение для биномиальных коэффициентов известно как Правило Паскаля.

У треугольника Паскаля выше размерный обобщения. Трехмерная версия называется Пирамида паскаля или же Тетраэдр Паскаля, а общие версии называются Симплексы Паскаля.

История

मेरु प्रस्तार (Меру Прастара), как используется в индийских рукописях, происходит от Пингалаформулы. Рукопись из библиотеки Рагхунатха J&K; 755 г. н.э.

Ян Хуэйтреугольник, изображенный китайцами с помощью стержневые цифры, появляется в математическая работа к Чжу Шицзе, датированный 1303 годом. Название гласит: «Схема семи квадратов умножения по старинному методу» (китайский язык: 古法 七 乘方 圖; четвертый символ 椉 в названии изображения архаичен).

Паскальверсия треугольника

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до Паскаля. Паскаль ввел новшества во многие ранее неизвестные способы использования чисел треугольника, которые он подробно описал в самых ранних известных математических работах. научный труд быть специально посвященным треугольнику, его Арифметический треугольник (1654; опубликовано 1665). Несколько веков назад обсуждение чисел возникло в контексте Индийский исследования комбинаторика и биномиальных чисел и Греки' исследование фигуральные числа.^[5]

Из более поздних комментариев видно, что биномиальные коэффициенты и аддитивная формула для их генерации, ${ displaystyle { tbinom {n} {r}} = { tbinom {n-1} {r}} + { tbinom {n-1} {r-1}}}$, были известны Пингала в или до 2-го века до нашей эры.^[6][7] Хотя работы Пингалы сохранились лишь фрагментарно, комментатор Варахамихираоколо 505 г., дал четкое описание аддитивной формулы,^[7] и более подробное объяснение того же правила было дано Халаюда, около 975. Халаюдха также объяснил неясные ссылки на Меру-прастара, то Лестница Гора Меру, давая первое сохранившееся описание расположения этих чисел в треугольник.^[7][8] Примерно в 850 г. Джайн математик Махавира дал другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентную современной формуле ${ displaystyle { tbinom {n} {r}} = { tfrac {n!} {r! (n-r)!}}}$.^[7] В 1068 году математик дал четыре столбца первых шестнадцати строк. Бхаттотпала, который был первым зарегистрированным математиком, который приравнял аддитивные и мультипликативные формулы для этих чисел.^[7]

Примерно в то же время Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первое описание треугольника Паскаля.^[9][10][11] Позже его повторил персидский поэт-астроном-математик. Омар Хайям (1048–1131); таким образом, треугольник также называют Треугольник Хайям в Иране.^[12] Было известно несколько теорем, связанных с треугольником, в том числе биномиальная теорема. Хайям использовал метод поиска пкорни на основе биномиального разложения и, следовательно, биномиальных коэффициентов.^[2]

Треугольник Паскаля был известен в Китае в начале 11 века благодаря работам китайского математика. Цзя Сянь (1010–1070). В 13 веке Ян Хуэй (1238–1298) представили треугольник, и поэтому его до сих пор называют Треугольник Ян Хуэя (杨辉 三角; 楊輝 三角) в Китае.^[13]

На западе треугольник Паскаля впервые появляется в арифметике Иорданус де Немор (13 век).^[14]Биномиальные коэффициенты рассчитывались по формуле Герсонид в начале 14 века, используя для них формулу умножения.^[7] Петрус Апианус (1495–1552) опубликовал полный треугольник на фронтиспис его книги по бизнес-расчетам в 1527 году.^[15] Майкл Стифель опубликовал часть треугольника (от второго до среднего столбца в каждой строке) в 1544 году, описав его как таблицу фигуральные числа.^[7] В Италии треугольник Паскаля называют Треугольник Тартальи, названный в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500–1577), опубликовавший в 1556 году шесть рядов треугольника.^[7] Джероламо Карданотакже опубликовал треугольник, а также аддитивные и мультипликативные правила его построения в 1570 году.^[7]

Паскаля Арифметический треугольник (Трактат об арифметическом треугольнике) был опубликован в 1655 году. В нем Паскаль собрал несколько известных на тот момент результатов о треугольнике и использовал их для решения задач в теория вероятности. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля. Пьер Раймон де Монморт (1708), который назвал его «Table de M. Pascal pour les combinaisons» (французский язык: Таблица г-на Паскаля для комбинаций) и Авраам де Муавр (1730), который назвал его «Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM» (лат.: Арифметический треугольник Паскаля), что стало современным западным названием.^[16]

Биномиальные разложения

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Треугольник Паскаля определяет коэффициенты, которые возникают в биномиальные разложения. Например, рассмотрим расширение

(Икс + у)² = Икс² + 2ху + у² = 1Икс²у⁰ + 2Икс¹у¹ + 1Икс⁰у².

Коэффициенты - это числа во второй строке треугольника Паскаля: 1, 2, 1. В общем, когда биномиальный подобно Икс + у возводится в положительную целую степень, мы имеем:

(Икс + у)^п = а₀Икс^п + а₁Икс^п−1у + а₂Икс^п−2у² + ... + а_п−1ху^п−1 + а_пу^п,

где коэффициенты а_я в этом раскрытии - именно числа в строке п треугольника Паскаля. Другими словами,

${ displaystyle a_ {i} = {n choose i}.}$

Это биномиальная теорема.

Вся правая диагональ треугольника Паскаля соответствует коэффициенту при у^п в этих биномиальных разложениях, а следующая диагональ соответствует коэффициенту при ху^п−1 и так далее.

Чтобы увидеть, как биномиальная теорема связана с простым построением треугольника Паскаля, рассмотрим задачу вычисления коэффициентов разложения (Икс + 1)^п+1 через соответствующие коэффициенты при (Икс + 1)^п (параметр у = 1 для простоты). Предположим тогда, что

${ displaystyle (x + 1) ^ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}.}$

Сейчас же

${ displaystyle (x + 1) ^ {n + 1} = (x + 1) (x + 1) ^ {n} = x (x + 1) ^ {n} + (x + 1) ^ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i + 1} + sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}.}$

${ displaystyle { begin {array} {c} { binom {0} {0}} { binom {1} {0}} quad { binom {1} {1}} { binom {2} {0}} quad { binom {2} {1}} quad { binom {2} {2}} { binom {3} {0}} quad { binom { 3} {1}} quad { binom {3} {2}} quad { binom {3} {3}} { binom {4} {0}} quad { binom {4} {1}} quad { binom {4} {2}} quad { binom {4} {3}} quad { binom {4} {4}} { binom {5} {0 }} quad { binom {5} {1}} quad { binom {5} {2}} quad { binom {5} {3}} quad { binom {5} {4}} quad { binom {5} {5}} end {array}}}$

Шесть строк треугольника Паскаля как биномиальные коэффициенты

Два суммирования можно реорганизовать следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i + 1} + sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} & = sum _ {i = 1} ^ {n + 1} a_ {i-1} x ^ {i} + sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} [6pt] & {} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i-1} x ^ {i} + sum _ {i = 1} ^ {n} a_ { i} x ^ {i} + a_ {0} x ^ {0} + a_ {n} x ^ {n + 1} [6pt] & {} = sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_ {i}) x ^ {i} + a_ {0} x ^ {0} + a_ {n} x ^ {n + 1} [6pt] & {} = сумма _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_ {i}) x ^ {i} + x ^ {0} + x ^ {n + 1} end {выровнено}}}$

(из-за того, как работает возведение многочлена в степень, а₀ = а_п = 1).

Теперь у нас есть выражение для полинома (Икс + 1)^п+1 через коэффициенты при (Икс + 1)^п (эти а_яs), что нам нужно, если мы хотим выразить строку через строку над ней. Напомним, что все члены на диагонали, идущей из верхнего левого угла в нижний правый, соответствуют одной и той же степени Икс, и что a-члены являются коэффициентами многочлена (Икс + 1)^п, и мы определяем коэффициенты при (Икс + 1)^п+1. Теперь для любого я не 0 или п + 1, коэффициент Икс^я член в полиноме (Икс + 1)^п+1 равно а_я−1 + а_я. Это действительно простое правило построения треугольника Паскаля строка за строкой.

Этот аргумент несложно превратить в доказательство (к математическая индукция) биномиальной теоремы. С(а + б)^п = б^п(а/б + 1)^п, коэффициенты идентичны в разложении общего случая.

Интересное следствие биномиальной теоремы получается, если положить обе переменные Икс и у равно единице. В этом случае мы знаем, что (1 + 1)^п = 2^п, и так

${ displaystyle {n choose 0} + {n choose 1} + cdots + {n choose n-1} + {n choose n} = 2 ^ {n}.}$

Другими словами, сумма записей в п-я строка треугольника Паскаля - это п-й степени 2. Это эквивалентно утверждению, что количество подмножеств (мощность набор мощности) из п-элементный набор есть ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$, как можно увидеть, наблюдая, что количество подмножеств является суммой количества комбинаций каждой из возможных длин, которые варьируются от нуля до п.

Комбинации

Второе полезное применение треугольника Паскаля - вычисление комбинации. Например, количество комбинаций п вещи взяты k одновременно (называется n выбрать k) можно найти по уравнению

${ displaystyle mathbf {C} (n, k) = mathbf {C} _ {k} ^ {n} = {_ {n} C_ {k}} = {n choose k} = { frac { n!} {k! (nk)!}}.}$

Но это также формула для ячейки треугольника Паскаля. Вместо того, чтобы выполнять вычисления, можно просто найти соответствующую запись в треугольнике. Если у нас есть первая строка и первая запись в строке с номером 0, ответ будет расположен в записи k в ряд п. Например, предположим, что в баскетбольной команде 10 игроков, и она хочет знать, сколько способов выбрать 8. Ответ - запись 8 в строке 10, что составляет 45; то есть 10 выберите 8 - это 45.

Связь с биномиальным распределением и свертками

При делении на 2^п, то п-я строка треугольника Паскаля становится биномиальное распределение в симметричном случае, когда п = 1/2. Посредством Центральная предельная теорема, это распределение приближается к нормальное распределение в качестве п увеличивается. Это также можно увидеть, применив Формула Стирлинга факториалам, входящим в формулу для комбинаций.

Это связано с работой дискретных свертка двумя способами. Во-первых, полиномиальное умножение точно соответствует дискретной свертке, так что многократная свертка последовательности {..., 0, 0, 1, 1, 0, 0, ...} с самой собой соответствует взятию степеней 1 +Икс, а значит, и к порождению строк треугольника. Во-вторых, многократно свертывая функцию распределения для случайная переменная с собой соответствует вычислению функции распределения для суммы п независимые копии этой переменной; это как раз та ситуация, к которой применима центральная предельная теорема и, следовательно, приводит к нормальному распределению в пределе.

Паттерны и свойства

Треугольник Паскаля обладает множеством свойств и содержит множество шаблонов чисел.

Каждый кадр представляет собой строку в треугольнике Паскаля. Каждый столбец пикселей представляет собой двоичное число с младшим битом внизу. Светлые пиксели представляют собой единицы, а темные пиксели - нули.

Рядов

• Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы предшествующей ей строки. Например, строка 0 (самая верхняя строка) имеет значение 1, строка 1 имеет значение 2, строка 2 имеет значение 4 и так далее. Это потому, что каждый элемент в строке создает два элемента в следующей строке: один слева и один справа. Сумма элементов строкип равно 2^п.
• Взяв произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов (последовательность A001142 в OEIS) связана с основанием натурального логарифма, е.^[17][18] В частности, определите последовательность s_п следующее:

${ displaystyle s_ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} = prod _ {k = 0} ^ {n} { frac {n!} {k! (nk)!}} ~, ~ n geq 0.}$

Тогда соотношение последовательных рядов продуктов равно

${ displaystyle { frac {s_ {n + 1}} {s_ {n}}} = { frac {(n + 1)! ^ {(n + 2)} prod _ {k = 0} ^ { n + 1} {k! ^ {- 2}}} {n! ^ {(n + 1)} prod _ {k = 0} ^ {n} {k! ^ {- 2}}}} = { frac {(n + 1) ^ {n}} {n!}}}$

и отношение этих соотношений равно

${ displaystyle { frac {(s_ {n + 1}) (s_ {n-1})} {(s_ {n}) ^ {2}}} = left ({ frac {n + 1} { n}} right) ^ {n}, ~ n geq 1.}$

Правая часть приведенного выше уравнения принимает форму предельного определения е

${ displaystyle { textit {e}} = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}.}$

• Пи можно найти в треугольнике Паскаля через Нилаканта бесконечная серия.^[19]

${ displaystyle pi = 3 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac { binom {2n + 1} {1}} {{ binom {2n + 1} {2}} { binom {2n + 2} {2}}}}}$

• Значение строки, если каждая запись считается десятичным разрядом (и числа, превышающие 9, переносятся соответственно), это степень 11 ( 11^п, для строкип). Таким образом, во 2 строке ⟨1, 2, 1⟩ становится 11², пока ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в пятой строке становится (после переноса) 161051, что составляет 11⁵. Это свойство объясняется установкой Икс = 10 в биномиальном разложении (Икс + 1)^п, и перевод значений в десятичную систему. Но Икс можно выбрать, чтобы строки могли представлять значения в любой основание.
  • В база 3: 1 2 1₃ = 4² (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1₃ = 4³ (64)
  • В база 9: 1 2 1₉ = 10² (100)
  •               1 3 3 1₉ = 10³ (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1₉ = 10⁵ (100000)

  В частности (см. Предыдущее свойство), для Икс = 1 стоимость остается постоянный (1^место= 1). Таким образом, записи можно просто добавлять при интерпретации значения строки.

• Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в Треугольник Лозанича.
• Сумма квадратов элементов строкип равно среднему элементу строки2п. Например, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. В общем виде:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} ^ {2} = {2n choose n}.}$

• В любом рядуп, куда п чётно, средний член минус член на две точки слева равняется Каталонский номерв частности (п/2 + 1)й каталонский номер. Например: в строке 4, 6 − 1 = 5, которое является третьим каталонским числом, и 4/2 + 1 = 3.
• В рядп куда п это простое число, все члены в этой строке, кроме единиц, являются кратные изп. Это легко доказать, так как если ${ displaystyle p in mathbb {P}}$, тогда п не имеет факторов, кроме 1 и самого себя. Каждая запись в треугольнике является целым числом, поэтому по определению ${ Displaystyle (п-к)!}$ и ${ displaystyle k!}$ факторы ${ displaystyle p! ,}$. Однако нет возможности п сам может появиться в знаменателе, поэтому п (или несколько его значений) необходимо оставить в числителе, в результате чего вся запись будет кратна п.
• Паритет: Считать странный термины подрядп, конвертировать п к двоичный. Позволять Икс быть количеством единиц в двоичном представлении. Тогда количество нечетных членов будет 2^Икс. Эти числа являются значениями в Последовательность Гулда.^[20]
• Каждая запись в строке 2^п-1, п ≥ 0, является нечетным.^[21]
• Полярность: Когда элементы строки треугольника Паскаля последовательно складываются и вычитаются, каждая строка со средним числом, то есть строки с нечетным числом целых чисел, дает в результате 0. Например, строка 4 - 1 4 6 4 1, поэтому формула будет иметь вид 6 - (4 + 4) + (1 + 1) = 0; а строка 6 - 1 6 15 20 15 6 1, поэтому формула будет иметь вид 20 - (15 + 15) + (6 + 6) - (1 + 1) = 0. Таким образом, каждая четная строка треугольника Паскаля равна 0, когда вы берете среднее число, затем вычитаете целые числа непосредственно рядом с центром, затем складываете следующие целые числа, затем вычитаете и т. д. и т. д., пока не дойдете до конца строки.

Диагонали

Вывод симплекс числа из выровненного влево треугольника Паскаля

Диагонали треугольника Паскаля содержат фигуральные числа симплексов:

• Диагонали, идущие по левому и правому краям, содержат только единицы.
• Диагонали рядом с диагоналями краев содержат натуральные числа чтобы.
• Двигаясь внутрь, следующая пара диагоналей содержит треугольные числа чтобы.
• Следующая пара диагоналей содержит тетраэдрические числа по порядку, а следующая пара дает числа пентатопа.

${ Displaystyle { begin {align} P_ {0} (n) & = P_ {d} (0) = 1, P_ {d} (n) & = P_ {d} (n-1) + P_ {d-1} (n) & = sum _ {i = 0} ^ {n} P_ {d-1} (i) = sum _ {i = 0} ^ {d} P_ {i} (n-1). end {выравнивается}}}$

Симметрия треугольника означает, что п^th d-мерное число равно d^th п-размерный номер.

Альтернативная формула, не использующая рекурсию, выглядит следующим образом:

${ displaystyle P_ {d} (n) = { frac {1} {d!}} prod _ {k = 0} ^ {d-1} (n + k) = {n ^ {(d)} over d!} = { binom {n + d-1} {d}}}$

куда п^(d) это возрастающий факториал.

Геометрический смысл функции P_d это: P_d(1) = 1 для всех d. Построить d-размерный треугольник (трехмерный треугольник - это тетраэдр) путем размещения дополнительных точек под начальной точкой, соответствующей P_d(1) = 1. Разместите эти точки аналогично расположению чисел в треугольнике Паскаля. Чтобы найти P_d(Икс), всего Икс точки, составляющие целевую форму. п_d(Икс) тогда равняется общему количеству точек в форме. 0-мерный треугольник - это точка, а одномерный треугольник - это просто линия, и поэтому P₀(Икс) = 1 и P₁(Икс) = Икс, которая представляет собой последовательность натуральных чисел. Количество точек в каждом слое соответствует P_d − 1(Икс).

Вычисление строки или диагонали отдельно

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов в строке или диагонали без вычисления других элементов или факториалов.

Вычислить строку ${ displaystyle n}$ с элементами ${ displaystyle { tbinom {n} {0}}}$, ${ Displaystyle { tbinom {п} {1}}}$, ..., ${ displaystyle { tbinom {n} {n}}}$, начинать с ${ displaystyle { tbinom {n} {0}} = 1}$. Для каждого последующего элемента значение определяется путем умножения предыдущего значения на дробь с медленно меняющимися числителем и знаменателем:

${ displaystyle {n choose k} = {n choose k-1} times { frac {n + 1-k} {k}}.}$

Например, для вычисления строки 5 дроби равны ${ displaystyle { tfrac {5} {1}}}$,  ${ displaystyle { tfrac {4} {2}}}$,  ${ displaystyle { tfrac {3} {3}}}$,  ${ displaystyle { tfrac {2} {4}}}$ и ${ displaystyle { tfrac {1} {5}}}$, а значит, элементы ${ displaystyle { tbinom {5} {0}} = 1}$,   ${ displaystyle { tbinom {5} {1}} = 1 times { tfrac {5} {1}} = 5}$,   ${ displaystyle { tbinom {5} {2}} = 5 times { tfrac {4} {2}} = 10}$и т. д. (Остальные элементы легче всего получить с помощью симметрии.)

Чтобы вычислить диагональ, содержащую элементы ${ displaystyle { tbinom {n} {0}}}$, ${ Displaystyle { tbinom {п + 1} {1}}}$, ${ Displaystyle { tbinom {п + 2} {2}}}$, ..., снова начинаем с ${ displaystyle { tbinom {n} {0}} = 1}$ и получить последующие элементы умножением на определенные дроби:

${ displaystyle {n + k choose k} = {n + k-1 choose k-1} times { frac {n + k} {k}}.}$

Например, чтобы вычислить диагональ, начинающуюся в ${ displaystyle { tbinom {5} {0}}}$, дроби равны ${ displaystyle { tfrac {6} {1}}}$,  ${ displaystyle { tfrac {7} {2}}}$,  ${ displaystyle { tfrac {8} {3}}}$, ..., а элементы ${ displaystyle { tbinom {5} {0}} = 1}$,   ${ displaystyle { tbinom {6} {1}} = 1 times { tfrac {6} {1}} = 6}$,   ${ displaystyle { tbinom {7} {2}} = 6 times { tfrac {7} {2}} = 21}$и т. д. Эти элементы по симметрии равны ${ displaystyle { tbinom {5} {5}}}$, ${ displaystyle { tbinom {6} {5}}}$, ${ displaystyle { tbinom {7} {5}}}$, так далее.

Последовательность Фибоначчи в треугольнике Паскаля

Общие закономерности и свойства

Приближение уровня 4 к треугольнику Серпинского, полученное путем закрашивания первых 32 строк треугольника Паскаля белым цветом, если биномиальный коэффициент четный, и черным, если он нечетный.

• Образец, полученный раскрашиванием только нечетных чисел в треугольнике Паскаля, очень похож на фрактал называется Треугольник Серпинского. Это сходство становится все более точным по мере того, как рассматривается больше строк; в пределе, когда количество строк приближается к бесконечности, результирующий шаблон является треугольник Серпинского, предполагающий фиксированный периметр.^[22] В более общем смысле числа могут быть окрашены по-разному в зависимости от того, кратны ли они 3, 4 и т.д .; это приводит к другим подобным образцам.

			10
		10	20

Треугольник Паскаля, наложенный на сетку, дает количество различных путей к каждому квадрату, предполагая, что учитываются только движения вправо и вниз.

• В треугольной части сетки (как на изображениях ниже) количество кратчайших путей сетки от данного узла до верхнего узла треугольника является соответствующей записью в треугольнике Паскаля. На Плинко игровое поле имеет форму треугольника, такое распределение должно давать вероятности выигрыша различных призов.

• Если строки треугольника Паскаля выровнены по левому краю, диагональные полосы (отмеченные цветом ниже) суммируются с Числа Фибоначчи.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Построение как матричная экспонента

${ displaystyle { begin {align} exp { begin {pmatrix}. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. . & 2 &. &. &. . &. & 3 &. &. . &. &. & 4 &. End {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} 1 &. &. &. &. 1 & 1 &. &. &. 1 & 2 & 1 &. &. 1 & 3 & 3 & 1 &. 1 & 4 & 6 & 4 & 1 end {pmatrix}} e ^ {counting} & = binomial end {align}}}$

Биномиальная матрица как матричная экспонента. Все точки обозначают 0.

Благодаря простой конструкции с помощью факториалов, очень простое представление треугольника Паскаля в терминах матричная экспонента может быть задано: треугольник Паскаля - это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4, ... на его поддиагонали и ноль везде.

Связи с геометрией многогранников

Эта секция не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. (Октябрь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Треугольник Паскаля можно использовать как Справочная таблица для количества элементов (например, кромок и углов) в пределах многогранник (например, треугольник, тетраэдр, квадрат и куб).

Количество элементов симплексов

Давайте начнем с рассмотрения 3-й строки треугольника Паскаля со значениями 1, 3, 3, 1. Двумерный треугольник имеет один двумерный элемент (сам), три одномерных элемента (линии или ребра) и три 0-мерные элементы (вершины, или углы). Значение последней цифры (1) объяснить сложнее (но см. Ниже). Продолжая наш пример, тетраэдр имеет один 3-мерный элемент (сам), четыре 2-мерных элемента (грани), шесть 1-мерных элементов (ребер) и четыре 0-мерных элемента (вершины). Снова складывая последнюю 1, эти значения соответствуют 4-й строке треугольника (1, 4, 6, 4, 1). Линия 1 соответствует точке, а линия 2 соответствует отрезку (диаде). Этот паттерн продолжается до гипер-тетраэдров произвольно больших размеров (известных как симплексы).

Чтобы понять, почему существует этот паттерн, нужно сначала понять, что процесс построения п-суплекс от (п − 1)-симплекс состоит из простого добавления к последней новой вершине, расположенной так, чтобы эта новая вершина лежала вне пространства исходного симплекса, и соединения ее со всеми исходными вершинами. В качестве примера рассмотрим случай построения тетраэдра из треугольника, последний из элементов которого пронумерован строкой 3 треугольника Паскаля: 1 лицо, 3 края и 3 вершины (значение последней единицы будет объяснено в ближайшее время). Чтобы построить тетраэдр из треугольника, мы располагаем новую вершину над плоскостью треугольника и соединяем эту вершину со всеми тремя вершинами исходного треугольника.

Номер данного размерного элемента в тетраэдре теперь представляет собой сумму двух чисел: сначала номер этого элемента, найденного в исходном треугольнике, плюс количество новых элементов, каждый из которых построен на элементах с меньшим размером исходного треугольника. Таким образом, в тетраэдре количество клетки (многогранные элементы) 0 + 1 = 1; количество лиц 1 + 3 = 4; количество ребер 3 + 3 = 6; количество новых вершин 3 + 1 = 4. Этот процесс суммирования количества элементов данного измерения с элементами меньшего измерения для получения количества первых, найденных в следующем более высоком симплексе, эквивалентен процессу суммирования двух соседних чисел в строке треугольника Паскаля для получения номер ниже. Таким образом, значение последнего числа (1) в строке треугольника Паскаля становится понятным как представляющее новую вершину, которая должна быть добавлена ​​к симплексу, представленному этой строкой, чтобы получить следующий более высокий симплекс, представленный следующей строкой. Эта новая вершина присоединяется к каждому элементу в исходном симплексе, чтобы получить новый элемент одного более высокого измерения в новом симплексе, и это источник шаблона, который оказался идентичным узору в треугольнике Паскаля. «Дополнительный» 1 в ряду можно представить как симплекс -1, уникальный центр симплекса, который когда-либо дает начало новой вершине и новому измерению, давая новый симплекс с новым центром.

Количество элементов гиперкубов

Аналогичная картина наблюдается в отношении квадраты, в отличие от треугольников. Чтобы найти образец, нужно построить аналог треугольника Паскаля, элементы которого являются коэффициентами (Икс + 2)^{Номер строки}, вместо (Икс + 1)^{Номер строки}. Это можно сделать двумя способами. Более простой вариант - начать с строки 0 = 1 и строки 1 = 1, 2. Продолжайте строить аналоговые треугольники по следующему правилу:

${ displaystyle {n choose k} = 2 times {n-1 choose k-1} + {n-1 choose k}.}$

То есть выберите пару чисел в соответствии с правилами треугольника Паскаля, но перед сложением удвойте число слева. Это приводит к:

${ displaystyle { begin {matrix} { text {1}} { text {1}} quad { text {2}} { text {1}} quad { text {4 }} quad { text {4}} { text {1}} quad { text {6}} quad { text {12}} quad { text {8}} { text {1}} quad { text {8}} quad { text {24}} quad { text {32}} quad { text {16}} { text {1} } quad { text {10}} quad { text {40}} quad { text {80}} quad { text {80}} quad { text {32}} { текст {1}} quad { text {12}} quad { text {60}} quad 160 quad 240 quad 192 quad { text {64}} { text {1}} quad { text {14}} quad { text {84}} quad 280 quad 560 quad 672 quad 448 quad 128 end {matrix}}}$

Другой способ изготовления этого треугольника - начать с треугольника Паскаля и умножить каждую запись на 2.^k, где k - позиция в строке заданного числа. Например, 2-е значение в строке 4 треугольника Паскаля равно 6 (наклон единиц соответствует нулевой записи в каждой строке). Чтобы получить значение, которое находится в соответствующей позиции аналогового треугольника, умножьте 6 на 2^{Номер позиции} = 6 × 2² = 6 × 4 = 24. Теперь, когда аналоговый треугольник построен, количество элементов любой размерности, составляющих произвольно измеренный куб (называется гиперкуб) можно прочитать из таблицы аналогично треугольнику Паскаля. Например, количество 2-мерных элементов в 2-мерном кубе (квадрате) равно единице, количество 1-мерных элементов (сторон или линий) равно 4, а количество 0-мерных элементов (точек, или вершин) равно 4. Это соответствует 2-й строке таблицы (1, 4, 4). Куб имеет 1 куб, 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, что соответствует следующей строке аналогового треугольника (1, 6, 12, 8). Этот образец продолжается бесконечно.

Чтобы понять, почему существует этот шаблон, сначала осознайте, что построение п-куб из (п − 1)-куб делается простым копированием исходной фигуры и смещением ее на некоторое расстояние (для обычного п-куб, длина ребра) ортогональный в пространство исходной фигуры, затем соединяя каждую вершину новой фигуры с соответствующей вершиной оригинала. Этот начальный процесс дублирования является причиной того, почему, чтобы перечислить размерные элементы п-куб, нужно удвоить первое из пары чисел в строке этого аналога треугольника Паскаля, прежде чем суммировать, чтобы получить число ниже. Таким образом, первоначальное удвоение дает количество «исходных» элементов, которые можно найти в следующих более высоких п-куб и, как и раньше, новые элементы строятся на элементах меньшего размера (ребра на вершинах, грани на ребрах и т. д.). Опять же, последнее число в строке представляет количество новых вершин, которые нужно добавить, чтобы сгенерировать следующую, более высокую. п-куб.

В этом треугольнике сумма элементов строки м равно 3^м. Опять же, чтобы использовать элементы строки 4 в качестве примера: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81, что равно ${ displaystyle 3 ^ {4} = 81}$.

Подсчет вершин в кубе по расстоянию

Каждая строка треугольника Паскаля дает количество вершин на каждом расстоянии от фиксированной вершины в п-мерный куб. Например, в трех измерениях третий ряд (1 3 3 1) соответствует обычному трехмерному куб: фиксация вершины V, есть одна вершина на расстоянии 0 от V (то есть, V сам), три вершины на расстоянии 1, три вершины на расстоянии √2 и одна вершина на расстоянии √3 (вершина напротив V). Вторая строка соответствует квадрату, а строки с большим номером соответствуют гиперкубы в каждом измерении.

Преобразование Фурье греха (Икс)^п+1/Икс

Как указывалось ранее, коэффициенты при (Икс + 1)^п являются n-й строкой треугольника. Теперь коэффициенты при (Икс − 1)^п те же самые, за исключением того, что знак меняется от +1 до -1 и обратно. После соответствующей нормализации такой же шаблон чисел появляется в преобразование Фурье греха (Икс)^п+1/Икс. Точнее: если п ровно, возьмите реальная часть преобразования, и если п странно, возьмите мнимая часть. Тогда результатом будет ступенчатая функция, значения которой (подходящим образом нормированные) даются п-й ряд треугольника с чередованием знаков.^[23] Например, значения ступенчатой ​​функции, полученной в результате:

${ displaystyle , { mathfrak {Re}} left ({ text {Fourier}} left [{ frac { sin (x) ^ {5}} {x}} right] right)}$

составить 4-й ряд треугольника, чередуя знаки. Это обобщение следующего основного результата (часто используемого в электротехника):

${ displaystyle , { mathfrak {Re}} left ({ text {Fourier}} left [{ frac { sin (x) ^ {1}} {x}} right] right)}$

это функция товарного вагона.^[24] Соответствующая строка треугольника - это строка 0, которая состоит только из числа 1.

Если n равно конгруэнтный до 2 или до 3 по модулю 4, то знаки начинаются с -1. Фактически, последовательность (нормированных) первых членов соответствует степеням я, которые совершают цикл вокруг пересечения осей с единичной окружностью в комплексной плоскости:

${ Displaystyle , + я, -1, -i, + 1, + я, ldots ,}$

Элементарный клеточный автомат

Узор, созданный элементарный клеточный автомат с использованием правила 60 - это точно треугольник Паскаля биномиальных коэффициентов, уменьшенный по модулю 2 (черные ячейки соответствуют нечетным биномиальным коэффициентам).^[25] Правило 102 также создает этот образец, когда завершающие нули опущены. Правило 90 создает тот же шаблон, но с пустой ячейкой, разделяющей каждую запись в строках.

Расширения

Треугольник Паскаля можно расширить до отрицательных номеров строк.

Сначала напишите треугольник в следующем виде:

Затем вытяните столбец единиц вверх:

Теперь правило:

${ Displaystyle {п выбрать м} = {п-1 выбрать м-1} + {п-1 выбрать м}}$

можно изменить на:

${ Displaystyle {п-1 выбрать м} = {п выбрать м} - {п-1 выбрать м-1}}$

что позволяет вычислить другие записи для отрицательных строк:

Это расширение сохраняет свойство, что значения в м-й столбец рассматривается как функция п подходят по заказу м полином, а именно

${ displaystyle {n choose m} = { frac {1} {m!}} prod _ {k = 0} ^ {m-1} (nk) = { frac {1} {m!}} prod _ {k = 1} ^ {m} (n – k + 1)}$.

Это расширение также сохраняет то свойство, что значения в п-я строка соответствует коэффициентам при (1 +Икс)^п:

${ displaystyle (1 + x) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ { infty} {n choose k} x ^ {k} quad | x | <1}$

Например:

${ displaystyle (1 + x) ^ {- 2} = 1-2x + 3x ^ {2} -4x ^ {3} + cdots quad | x | <1}$

Если рассматривать как серию, ряды отрицательных п расходятся. Однако они все еще Абель суммируемый, суммирование которых дает стандартные значения 2^п. (На самом деле п = -1 строка приводит к Серия Гранди который «суммируется» до 1/2, а п = -2 строки приводит к еще один известный сериал в котором сумма Абеля равна 1/4.)

Другой вариант расширения треугольника Паскаля на отрицательные строки - расширение Другой строка 1 с:

Применение того же правила, что и раньше, приводит к

Это расширение также обладает такими же свойствами, как

${ displaystyle exp { begin {pmatrix}. &. &. &. &. 1 &. &. &. &. . & 2 &. &. &. . &. & 3 &. &. . &. &. & 4 &. End {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 &. &. &. &. 1 & 1 &. &. &. &. 1 & 2 & 1 &. &. 1 & 3 & 3 & 1 &. 1 & 4 & 6 & 4 & 1 конец {pmatrix}},}$

у нас есть

${ displaystyle exp { begin {pmatrix}. &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 4 &. &. &. &. &. &. &. &. & . . & - 3 &. &. &. &. &. &. &. &. . &. & - 2 &. &. &. &. &. &. &. . &. &. & -1 &. &. &. &. &. &. . &. &. &. & 0 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. . &. &. &. &. &. & 2 &. &. &. . &. &. &. &. &. &. & 3 &. &. . &. &. &. & . &. &. &. & 4 &. End {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 &. &. &. &. &. &. &. &. &. - 4 & 1 &. &. &. & . &. &. &. &. 6 & -3 & 1 &. &. &. &. &. &. &. - 4 & 3 &. &. 1 & 1 &. &. &. &. &. . &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. . &. &. &. &. & 1 & 1 &. &. &. . & . &. &. &. & 1 & 2 & 1 &. &. . &. &. &. &. & 1 & 3 & 3 & 1 &. . &. &. &. &. & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 end {pmatrix}}}$

Кроме того, так же, как суммирование по диагонали от нижнего левого до верхнего правого диагоналей матрицы Паскаля дает Числа Фибоначчи, этот второй тип расширения по-прежнему суммируется с числами Фибоначчи для отрицательного индекса.

Любое из этих расширений может быть достигнуто, если мы определим

${ displaystyle {n choose k} = { frac {n!} {(nk)! k!}} Equiv { frac { Gamma (n + 1)} { Gamma (n-k + 1) Gamma (k + 1)}}}$

и принять определенные пределы гамма-функция, ${ Displaystyle Gamma (г)}$.

Смотрите также

• Машина для фасоли, "Квинконкс" Фрэнсиса Гальтона
• Треугольник колокола
• Треугольник Бернулли
• Биномиальное разложение
• Треугольник Эйлера
• Треугольник Флойда
• Биномиальный коэффициент Гаусса
• Гармонический треугольник Лейбница
• Кратности вхождений в треугольнике Паскаля (Гипотеза певца)
• Матрица Паскаля
• Пирамида паскаля
• Симплекс Паскаля
• Протонный ЯМР, одно приложение треугольника Паскаля
• (2,1) -Треугольник Паскаля
• Теорема о звезде Давида
• Трехчленное разложение
• Трехчленный треугольник

Рекомендации

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме Треугольник Паскаля.

• «Треугольник Паскаля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля». MathWorld.
• Схема семи квадратов умножения по старому методу (из Ssu Yuan Yü Chien of Chu Shi-Chieh, 1303 г., с изображением первых девяти рядов треугольника Паскаля)
• Трактат Паскаля об арифметическом треугольнике (изображения страниц трактата Паскаля, 1654 г .; резюме)