WikiDer > Кольцо полиномиального тождества - Википедия

Polynomial identity ring - Wikipedia

В математика, в подполе теория колец, кольцо р это тождественное кольцо полиномов если есть, для некоторых N > 0, элемент п кроме 0 из свободная алгебра, Z⟨Икс1, Икс2, ..., ИксN⟩, над кольцо целых чисел в N переменные Икс1, Икс2, ..., ИксN такой, что для всех N-кортежи р1, р2, ..., рN взято из р бывает что

Строго Икся вот «некоммутирующие неопределенные», и поэтому «полиномиальное тождество» - это небольшое злоупотребление языком, поскольку «полином» здесь означает то, что обычно называют «некоммутативный полином». Аббревиатура PI-кольцо обычное дело. В более общем смысле свободная алгебра над любым кольцом S может использоваться, и дает понятие PI-алгебра.

Если степень полинома п определяется обычным образом, многочлен п называется моник если хотя бы один из его членов высшей степени имеет коэффициент, равный 1.

Каждое коммутативное кольцо является PI-кольцом, удовлетворяющим полиномиальному тождеству XY - YX = 0. Поэтому PI-кольца обычно принимают в качестве близкие обобщения коммутативных колец. Если кольцо имеет характеристика п отлична от нуля, то он удовлетворяет полиномиальному тождеству pX = 0. Чтобы исключить такие примеры, иногда определяют, что PI-кольца должны удовлетворять моническому полиномиальному тождеству.[1]

Примеры

  • Кольцо матриц 2 на 2 над коммутативным кольцом удовлетворяет условию Идентичность зала
Эту идентичность использовал М. Холл (1943), но ранее был найден Вагнером (1937).
  • Большую роль в теории играет стандартная идентичность sN, длины N, который обобщает приведенный пример для коммутативных колец (N = 2). Это происходит из Формула Лейбница для определителей
заменяя каждое произведение в слагаемом произведением Икся в порядке, заданном перестановкой σ. Другими словами, каждый из N! порядков суммируется, а коэффициент равен 1 или -1 в соответствии с подпись.
В м×м матричное кольцо над любым коммутативным кольцом удовлетворяет стандартному тождеству: Теорема Амицура – ​​Левицки. заявляет, что это удовлетворяет s2м. Степень этого тождества оптимальна, поскольку кольцо матриц не может удовлетворять ни одному унитарному многочлену степени меньше 2.м.
еяеj = −еjея.
Это кольцо не удовлетворяет sN для любого N и поэтому не может быть вложен ни в какое матричное кольцо. Фактически sN(е1,е2,...,еN) = N!е1е2...еN ≠ 0. С другой стороны, это PI-кольцо, поскольку оно удовлетворяет [[Иксу], z] := xyz − yxz − zxy + Zyx = 0. Достаточно проверить это для мономов из е 'с. Теперь моном четной степени коммутирует с каждым элементом. Следовательно, если либо Икс или же у является мономом четной степени [Иксу] := ху − yx = 0. Если оба имеют нечетную степень, то [Иксу] = ху − yx = 2ху имеет четную степень и поэтому коммутирует с z, т.е. [[Иксу], z] = 0.

Характеристики

  • Любой подкольцо или же гомоморфный образ PI-кольца есть PI-кольцо.
  • Конечная прямой продукт PI-колец есть PI-кольцо.
  • Прямое произведение PI-колец, удовлетворяющих тому же тождеству, является PI-кольцом.
  • Всегда можно предположить, что тождество, которому удовлетворяет PI-кольцо, есть полилинейный.
  • Если кольцо конечно порождено п элементы как модуль над его центр то он удовлетворяет каждому чередующемуся полилинейному многочлену степени большей, чем п. В частности, он удовлетворяет sN за N > п следовательно, это PI-кольцо.
  • Если р и S PI-кольца, то их тензорное произведение над целыми числами, , также является PI-кольцом.
  • Если р PI-кольцо, то кольцо п×п-матрицы с коэффициентами в р.

PI-кольца как обобщения коммутативных колец

Среди некоммутативных колец PI-кольца удовлетворяют условию Гипотеза Кете. Аффинный PI-алгебры над поле удовлетворить Гипотеза Куроша, то Nullstellensatz и цепная собственность за главные идеалы.

Если р PI-кольцо и K такое подкольцо своего центра, что р является интеграл над K затем повышается и понижается свойства за главные идеалы р и K довольны. Так же лежа на свойство (если п это главный идеал K тогда есть простой идеал п из р такой, что минимально над ) и несравнимость свойство (если п и Q главные идеалы р и тогда ) довольны.

Множество тождеств PI-кольца удовлетворяет

Если F : = Z⟨Икс1, Икс2, ..., ИксN⟩ - свободная алгебра в N переменные и р PI-кольцо, удовлетворяющее полиному п в N переменные, то п находится в ядро любого гомоморфизма

: F р.

Идеальный я из F называется Т-идеал если для каждого эндоморфизм ж из F.

Учитывая PI-кольцо, р, множество всех полиномиальных тождеств, которым он удовлетворяет, является идеальный но тем более это Т-идеал. Наоборот, если я является T-идеалом F тогда F/я PI-кольцо, удовлетворяющее всем тождествам в я. Предполагается, что я содержит монические многочлены, когда PI-кольца должны удовлетворять моническим полиномиальным тождествам.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Дж. К. МакКоннелл, Дж. К. Робсон, Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике, Том 30

дальнейшее чтение

  • Форманек, Эдвард (1991). Полиномиальные тождества и инварианты п×п матрицы. Серия региональных конференций по математике. 78. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001.
  • Канель-Белов Алексей; Роуэн, Луи Галле (2005). Вычислительные аспекты полиномиальных тождеств. Исследовательские заметки по математике. 9. Уэллсли, Массачусетс: А. К. Питерс. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018.

внешняя ссылка