WikiDer > Cauchy-Problem

EIN Cauchy-Problem ist ein gemeinsames Problem in dem mathematische Physik, wo man nach a . sucht Lösung von a partielle Differentialgleichung das erfüllt die Bedingungen von a on Hyperfläche. Ein Cauchy-Problem ist eine Verallgemeinerung von a Anfangszustandsproblem (im Gegensatz zu a Grenzwertproblem). Das Problem ist nach dem 19. Jahrhundert benannt Französisch Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857).

Angenommen, die partielle Differentialgleichung ist definiert bei ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ und betrachte a differenzierbare Vielfalt${displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}}$ der Dimension ${Anzeigestil n-1}$ (${Anzeigestil S}$ wird ein cauchy Oberfläche erwähnt). Cauchys Problem ist, die Lösung zu finden ${Anzeigestil u}$ des Differentialgleichung, die erfüllt:

${displaystyle { egin{aligned}u(x)&=f_{0}(x)qquad &&{ ext{ für alle }}xin S;/{frac {partial ^{k}u(x)}{partial n^ {k}}}&=f_{k}(x)qquad &&{ ext{ for }}k=1,ldots ,kappa -1{ ext{ und alle }}xin S,end{aligned}}}$

einschließlich

${displaystyle f_{k}}$ gegeben Funktionen definiert auf dem Oberfläche${Anzeigestil S}$ (zusammen die Cauchy-Termine des genannten Problems);

${displaystyle n}$ das normaler Vektor auf ${Anzeigestil S}$;

${displaystyle kappa}$ die Ordnung der Differentialgleichung.

Das Satz von Cauchy-Kovalevskaya behauptet, dass Cauchy-Probleme unter bestimmten Bedingungen, von denen die wichtigste darin besteht, dass die Cauchy-Daten und die Koeffizienten der partiellen Differentialgleichung Realanalytische Funktionen haben einzigartige Lösungen.

Externer Link

• (und) Cauchy-Problem auf MathWorld.