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In dem projektive Geometrie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein projektive Linie ein eindimensionalprojektiver Raum. Die projektive Linie über a Körper/Feld${Anzeigestil K}$, bezeichnet durch ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(K)}$, ist definiert als a Sammlung von eindimensionalen Unterräumen des zweidimensionalen Vektorraum${Displaystil K^{2}}$.

Im Falle von ${displaystyle K=mathbb {R} }$ man spricht von der realen projektiven Linie. Die komplexe projektive Linie wird auch als bezeichnet Riemann Atmosphäre.

Echte projektive Linie

Die reale projektive Linie kann als Menge verstanden werden ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbb {R} )}$ von Linien bis zum Ursprung von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$. Jede dieser "Linien" ist ein Element ("Punkt") der realen projektiven Linie.

Ein Punkt von ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbb {R} )}$ kann vertreten werden durch homogene Koordinaten${displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$, in die Zeile ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ durch den Ursprung und einen anderen Punkt ${displaystyle (x_{1},x_{2})}$, bestehend aus den Vielfachen von ${Anzeigestil (x_{1},x_{2})}$. wenn ${displaystyle x_{2}eq 0}$ kann der Punkt durch die reelle Zahl identifiziert werden? ${displaystyle x_{1}/x_{2}}$, und sonst mit ${displaystyle infty }$ (zeige auf unendlich), ohne Unterschied zwischen ${displaystyle infty }$ und ${displaystyle -infty }$.

Die üblichen arithmetischen Operationen können auch in ${displaystyle mathbf {P} ^{1}(mathbb {R} )}$ durchgeführt, mit folgenden Ergänzungen und Einschränkungen:

${displaystyle x infty = infty quad { ext{if}}quad xeq infty }$

${displaystyle infty x=infty quad { ext{if}}quad xeq infty }$

${displaystyle x-infty = infty quad { ext{if}}quad xeq infty }$

${displaystyle infty -x=infty quad { ext{if}}quad xeq infty }$

${displaystyle xcdot infty =infty quad { ext{if}}quad xeq 0}$

${displaystyle infty cdot x=infty quad { ext{if}}quad xeq 0}$

${displaystyle {frac {x}{0}}=infty quad { ext{if}}quad xeq 0}$

${displaystyle {frac {x}{infty}}=0quad { ext{if}}quad xeq infty }$

In homogenen Koordinaten geschrieben, die Operationen (vorausgesetzt, das Ergebnis wird nicht [0 : 0], was den oben genannten Einschränkungen entspricht):

${displaystyle [x_{1}:x_{2}] [y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2} y_{1}x_{2}):x_{2}y_ {2}]}$

${displaystyle [x_{1}:x_{2}]-[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}):x_{2 }y_{2}]}$

${displaystyle [x_{1}:x_{2}]cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}]}$

${displaystyle [x_{1}:x_{2}]/[y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{2}:x_{2}y_{1}]}$

Übereinstimmung zwischen Richtungen und Zahlen and

Oben war die Zeile in ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ durch den Ursprung und den Punkt ${Anzeigestil (x_{1},x_{2})}$ identifiziert mit der reellen Zahl ${displaystyle x_{1}/x_{2}}$ oder ${displaystyle infty }$. Dies entspricht dem ${displaystyle x_{1}}$-Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Linie ${displaystyle x_{2}=1}$, oder ${displaystyle infty }$ wenn es sich um parallele Linien handelt. Bei Auswahl einer anderen Linie als ${displaystyle x_{2}=1}$ (wieder eine Linie, die nicht durch den Ursprung geht) und einen beliebigen Ursprung auf dieser Linie können wir Punkte der projektiven Linie verwenden (Linien in ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ durch den Ursprung) entsprechen Zahlen auf andere Weise, basierend auf plus oder minus dem Abstand vom Schnittpunkt zum gewählten Ursprung der Linie, und wieder ${displaystyle infty }$ wenn es sich um parallele Linien handelt. (Anstatt eine Linie und einen Ursprung zu wählen und die Entfernung zu nehmen, können wir auch nur die Richtung und den Ursprung und die (lineare) Skala der Zahlen auf dieser Linie wählen.) Durch diese Auswahl, die drei Freiheitsgraden entspricht, Jeden drei verschiedenen Punkten auf der projektiven Linie können drei beliebige unterschiedliche Koordinaten zugewiesen werden. Zum Beispiel 0, 1 und ${displaystyle infty }$ indem Sie die Linie parallel zu einer der Richtungen wählen, den Ursprung an einem Schnittpunkt wählen und den Maßstab und die positive Richtung so wählen, dass der andere Schnittpunkt den Wert 1 hat.

Das Bild (Koordinatentransformation), die auf die obige Weise die Koordinatenwerte der projektiven Linie sind (d. h. die Werte, einschließlich ${displaystyle infty }$, den Zeilen in . zugeordnet ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ nach dem Ursprung) auf andere übergeht, hat die Form

${displaystyle xmapsto {frac {ax b}{cx d}}}$,

bei welchem ${displaystyle a,b,c{ ext{ und }}d}$ reelle Zahlen sind mit ${displaystyle ad-bceq 0}$, und dividieren durch null ergibt unendlich, und ${displaystyle x=infty}$ der Wert ${displaystyle a/c}$ gibt.

Diese Funktionen werden homographische Funktionen oder linear-fraktionale Transformationen genannt. Das doppeltes Verhältnis von beliebigen vieren von Werten ${Anzeigestil x}$ ist unter diesen Transformationen invariant.