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Projectieve ruimte

Im Mathematik ist ein projektiver Raum ein Sammlung von Elemente was als Menge verstanden werden kann ${Anzeigestil P(V)}$ von Linien bis zum Ursprung von a Vektorraum ${Anzeigestil V}$ . wenn ${displaystyle V=mathbb {R} ^{2}}$ oder ${displaystyle V=mathbb {R} ^{3}}$ , man spricht jeweils vom respektievelijk projektive Linie und der projektive Ebene. Ein projektiver Raum besteht sozusagen aus allen Richtungen in einem Vektorraum.

Die Idee eines projektiven Raums bezieht sich auf Perspektive, insbesondere mit der Art und Weise, wie das Auge oder die Linse von a Kamera eine dreidimensionale Szene wird als zweidimensionales Bild projiziert. Alle Punkte auf a Sichtlinie d.h. auf einer durch das Auge verlaufenden Projektionslinie oder die defokussiert von der Kamera werden auf ein gemeinsames Pixel projiziert. In diesem Fall ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ der Vektorraum mit dem Auge bzw. der Eintrittspupille der Kamera im Ursprung, und der projektive Raum entspricht den Pixeln.

In einem grafische Perspektive parallel berühren Linien im flugzeug zusammen in einem Fluchtpunkt am Horizont.

Projektive Räume können als eigenständiger Bereich der Mathematik studiert werden, werden aber auch in verschiedenen Bereichen, insbesondere im Bereich der Mathematik, angewendet. Geometrie benutzt. Geometrische Objekte, wie Punkte, Linien oder Flugzeuge, können als Elemente in projektiven Räumen dargestellt werden, die auf homogene Koordinaten. Dadurch können verschiedene Beziehungen zwischen diesen Objekten einfacher beschrieben werden, als dies ohne Verwendung homogener Koordinaten möglich ist. Darüber hinaus können verschiedene Sätze in der Geometrie konsistent und umfassender gemacht werden. Um ein Beispiel zu geben, schneiden sich in der Standardgeometrie der Ebene immer zwei Geraden in einem bestimmten Punkt, es sei denn, diese Geraden sind parallel zueinander. In einer projektiven Darstellung von Linien und Punkten existiert . so eine Kreuzung jedoch auch für parallele Linien, und dieser Schnittpunkt kann wie andere Schnittpunkte berechnet werden.

Andere mathematische Teilgebiete, in denen projektive Räume eine wichtige Rolle spielen, sind die Topologie, die Theorie der Liebe- und der algebraische Gruppen und ihre Darstellungstheorien.

Vorwort

Wie oben erwähnt, ist der projektive Raum eine geometrische Struktur, die Aussagen macht wie "Parallellinien schneiden sich im Unendlichen", formalisiert. Um die Dinge zu verdeutlichen, ist das Folgende der Aufbau der echte projektive ebene ${displaystyle P(mathbb {R} ^{2})}$ . Es gibt drei gleichwertige Definitionen:

Das Sammlung von allen Linien im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ bis zum Ursprung. Jede dieser Linien schneidet sie sphärische Oberfläche zum Ursprung mit Strahl 1 genau 2 mal, sag in ${Anzeigestil S=(x,y,z)}$ und im gegenteil ${Anzeigestil -S=(-x,-y,-z)}$ .
Die Punkte der Halbkugelfläche um den Ursprung von Radius 1 und ${Anzeigestil z}$ -Koordinate nicht negativ. Alternativ kann die gesamte Kugelfläche genommen werden und es wird keine Unterscheidung zwischen den Punkten gemacht ${Anzeigestil S}$ und ${displaystyle -S}$ . Der Punkt ${Anzeigestil (1,0,0)}$ (rot im Bild links) ist z. B. mit . gekennzeichnet ${Anzeigestil (-1,0,0)}$ (rosa) usw.
Die Sammlung von Äquivalenzklassen im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}setminus {0}}$ , also der dreidimensionale Raum ohne Ursprung, in dem zwei Punkte ${Anzeigestil S}$ und ${Anzeigestil S'}$ sind äquivalent, wenn sie auf derselben Ursprungsgeraden liegen, d. h. wenn eine Zahl vorhanden ist ${Anzeigestil Lambda in Mathbb {R}, Lambda eq 0}$ ist, so dass ${displaystyle S'=Lambda S}$ . Eine übliche Methode zur Bezeichnung eines Elements der projektiven Ebene, d. h. einer Äquivalenzklasse, ist die Verwendung von homogene Koordinaten. Die Äquivalenzklasse von ${Anzeigestil(x,y,z)}$ wird dann als bezeichnet ${Anzeigestil [x:y:z]}$ .

Beachten Sie, dass nur Punkt ${Anzeigestil [x:y:z]}$ mit ${displaystyle zeq 0}$ ist äquivalent zu ${Anzeigestil [x/z:y/z:1]}$ . Es sind also zwei disjunkte Teilmengen der projektiven Ebene: zuerst die Teilmenge die aus den Punkten besteht ${displaystyle [x:y:z]äquivalent [x/z:y/z:1]}$ vor dem ${displaystyle zeq 0}$ , und zweitens die Teilmenge bestehend aus den restlichen Punkten ${Anzeigestil [x:y:0]}$ . Die letzte Teilmenge kann auf ähnliche Weise in zwei disjunkte Teilmengen unterteilt werden, eine mit den Punkten ${displaystyle [x/y:1:0]}$ und einer mit ${Anzeigestil [x:0:0]}$ . Im letzteren Fall ist es unbedingt ${displaystyle xeq 0}$ , weil der Ursprung nicht Teil von . ist ${displaystyle mathbf {P} ^{2}(mathbb {R} )}$ . Der Punkt ist also äquivalent zu ${Anzeigestil [1:0:0]}$ .

Geometrisch ist die erste Teilmenge, die isomorph ist an ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ (nicht nur als Sammlung, sondern auch als Vielfalt, wie wir später sehen werden), im Bild oben rechts die Gelb obere Hemisphäre (ohne Äquator) oder äquivalent die untere Hemisphäre. Die zweite Teilmenge, die isomorph zu ${displaystyle mathbb {R} ^{1}}$ , entspricht der grünen Linie (ohne die beiden markierten Punkte) oder äquivalent wiederum der hellgrünen Linie. Schließlich haben wir den roten Punkt oder entsprechend den rosafarbenen Punkt. Wir haben es also mit einer disjunkten Zerlegung zu tun.

{displaystyle mathbf {P} ^{2}(mathbb {R} )=mathbb {R} ^{2}cup mathbb {R} ^{1}cup mathrm {dot} }

Intuitiv und detaillierter unten, R¹ ⊔ Punkt gleich echte projektive Liniep¹(R). Betrachtet als Teilmenge von p²(R) es wird der Linie im Unendlichen angerufen, während R² ⊂ p²(R) es affine Ebene, also die gewöhnliche Ebene, heißt.

Das nächste Ziel ist es, die Aussage "Parallellinien treffen sich im Unendlichen" zu verdeutlichen. ein natürlicher bijektion zwischen den ebenz = 1 (was die Kugel dem ArktisNein = (0, 0, 1) Tangente) und die affine Ebene innerhalb der projektiven Ebene (d. h. der oberen Hemisphäre) wird durch die stereographische Projektion, das heißt, jeder Punkt p auf dieser Ebene wird im Schnittpunkt der Geraden durch den Ursprung abgebildet und p und die Atmosphäre.

Daher zwei Zeilen l₁ und l₂ (blau) in der abgebildeten Ebene, wie es aussieht große Kreise (obwohl antipodische Punkte identifiziert werden). Großkreise schneiden sich genau in den beiden Antipodenpunkten, die in der projektiven Ebene angedeutet sind, d.h. jeder zwei Geraden genau innerhalb eines Schnittpunktes p²(R) haben. Dieses Phänomen wurde axiomatisiert und wird in der projektive Geometrie.