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EIN Pseudosphäre ist eine räumliche Oberfläche mit einem konstanten negativen Gaußsche Krümmung. Es ist gewissermaßen das Gegenstück zu a Kugeloberfläche oder Kugel die ebenfalls eine konstante Krümmung hat, aber eine positive. Der Begriff "Pseudosphäre" wurde von dem italienischen Mathematiker geprägt Eugenio Beltramic (1835-1900) im Rahmen seiner Forschungen auf dem Gebiet der nichteuklidische Geometrie. Die Figur selbst war vorher bekannt. Der Name Pseudosphäre ist etwas irreführend, denn die Pseudosphäre ähnelt in ihrer Form überhaupt keiner Kugel. Die Beziehung findet sich in bestimmten Eigenschaften: der Oberfläche, dem Volumen und der Gaußschen Krümmung (siehe unten).

Geometrische Definition und parametrische Gleichung

Der zentrale Teil einer Pseudosphäre. In Wirklichkeit erstreckt sich die Pseudosphäre auf beiden Seiten bis ins Unendliche.

Die Pseudosphäre entsteht, wenn a traktrix zusammen zu sein Asymptote Wird gedreht. Ein möglicher parametrische Gleichung der halben Traktrix, die die positive X-Achse als Asymptote hat, ist:

${Anzeigestil x(t) = Rcdot (t-tanh(t))}$

${displaystyle y(t) = Rcdot sech(t)}$

bei welchem ${ Anzeigestil t = 0 .. infty }$

und wo ${displaystyle tanh(t)}$ und ${displaystyle sech(t)}$hyperbolische Funktionen sein. Durch ${Anzeigestil y(t)}$ eine parametrische Gleichung der Pseudosphäre erhält man, indem man sie mittels einer Kreisbewegung um die X-Achse dreht. Sie können den Parameter verwenden ${displaystyle t}$ von minus bis plus unendlich offen. Die Funktion ${Anzeigestil x(t)}$ ist seltsam und damit symmetrisch zum Ursprung (0,0). Da eine vollständige Drehung um die X-Achse durchgeführt wird, ist die Zahl Ein bisschen in X-Richtung und damit symmetrisch gegenüber der YZ-Ebene. Eine mögliche parametrische Gleichung einer Pseudosphäre ist also:

${Anzeigestil x(t) = Rcdot (t-tanh(t))}$

${displaystyle y(t) = Rcdot sech(t)cdot cos(s)}$

${displaystyle y(t) = Rcdot sech(t)cdot sin(s)}$

bei welchem ${ Anzeigestil s = 0 .. 2cdot pi }$ und ${ Anzeigestil t = -infty .. infty }$

Der Parameter ${Anzeigestil R}$ heißt Radius der Pseudosphäre. Es ist der Radius des Kreises, der sich ergibt, wenn der Parameter ${displaystyle t}$ Null ist ausgewählt. Dieser Kreis liegt in der YZ-Ebene, wo der Durchmesser der Pseudosphäre maximal ist. Die nebenstehende Abbildung zeigt den mittleren Teil einer Pseudosphäre berechnet mit ${Anzeigestil R=2}$ vor dem ${ Anzeigestil t = -2,8.. 2,8}$. In Wirklichkeit erstreckt sich die Figur auf beiden Seiten der x-Achse bis ins Unendliche.

Eigenschaften

Gesamtfläche

Die Gesamtfläche einer Pseudosphäre mit Radius ${Anzeigestil R}$ entspricht ${displaystyle 4pi R^{2}}$, wie bei einer Kugelfläche mit Radius ${Anzeigestil R}$. Diese Oberfläche ${Anzeigestil S}$ wird berechnet mit Umdrehungsintegral für eine Rotationsfläche um die X-Achse:

${displaystyle S = 2cdot int _{t=0}^{infty}2pi cdot y(t){sqrt {x'(t)^{2} y'(t)^{2}}}dt = 4pi R^ {2}}$

bei welchem

${Anzeigestil x(t) = Rcdot (t-tanh(t))}$

${displaystyle y(t) = Rcdot sech(t)}$

Dies sind also die Gleichungen der Traktrix, nicht der Pseudosphäre, denn die Pseudosphäre entsteht durch die Rotation der Traktrix.

Das Integral selbst berechnet die Fläche der Pseudosphärenhälfte entlang der positiven X-Achse. Der Faktor ${Anzeigestil 2}$ die außerhalb des Integrals liegt, berücksichtigt den Teil entlang der negativen X-Achse.

Volle Lautstärke

Das Gesamtvolumen einer Pseudosphäre mit Radius ${Anzeigestil R}$ entspricht ${displaystyle {frac {2}{3}}pi R^{3}}$, halb so groß wie eine Kugelfläche mit Radius ${Anzeigestil R}$. dieser Band ${Anzeigestil S}$ wird berechnet mit Umdrehungsintegral für ein Umdrehungsvolumen um die X-Achse:

${displaystyle S = 2cdot int _{t=0}^{infty}pi cdot y^{2}(t)x'(t)dt = {frac {2}{3}}pi R^{3}}$

bei welchem

${Anzeigestil x(t) = Rcdot (t-tanh(t))}$

${displaystyle y(t) = Rcdot sech(t)}$

Dies sind also die Gleichungen der Traktrix, nicht der Pseudosphäre, denn die Pseudosphäre entsteht durch die Rotation der Traktrix.

Das Integral selbst berechnet das Volumen der Pseudosphärenhälfte entlang der positiven X-Achse. Der Faktor ${Anzeigestil 2}$ die außerhalb des Integrals liegt, berücksichtigt den Teil entlang der negativen X-Achse.

Krümmung

Das Gaußsche Krümmung${displaystyle kappa}$ ist gleich in jedem Punkt der Pseudosphäre

${displaystyle kappa = -{frac {1}{R^{2}}}}$

Bei einer Kugelfläche ist die Krümmung ebenfalls konstant, dann aber gleich ${displaystyle {frac {1}{R^{2}}}}$

Berechnung der Gaußschen Krümmung

Für eine Fläche mit parametrischer Gleichung

${Anzeigestil P = [x(s,t),y(s,t),z(s,t)]}$

die Gaußsche Krümmung kann wie folgt berechnet werden:

${displaystyle P_{s} = left({frac {partial x}{partial s}},{frac {partial y}{partial s}},{frac {partial z}{partial s}}ight)}$

${displaystyle P_{t} = left({frac {partial x}{partial t}},{frac {partial y}{partial t}},{frac {partial z}{partial t}}ight)}$

und dann:

${displaystyle N = {frac {P_{s}imes P_{t}}{|P_{s}imes P_{t}|}}}$

Das ist ein Einheitsvektor die senkrecht zu einem Punkt auf der Oberfläche steht.Wenn dann

${displaystyle N_{s} = left({frac {partial N[1]}{partial s}},{frac {partial N[2]}{partial s}},{frac {partial N[3]}{partial Sicht)}$

${displaystyle N_{t} = left({frac {partial N[1]}{partial t}},{frac {partial N[2]}{partial t}},{frac {partial N[3]}{partial fest)}$

Dann ist die Gaußsche Krümmung gleich

${displaystyle kappa = {frac {(P_{s}imes P_{t}).(N_{s}imes N_{t})}{|P_{s}imes P_{t}|^{2}}}}$

Konkret lautet dies für die gegebene parametrische Gleichung der Pseudosphäre:

${displaystyle P = [Rcdot (t-tanh(t)),Rcdot sech(t)cdot cos(s),Rcdot sech(t)cdot sin(s)]}$

${displaystyle P_{s} = [0,-Rcdot sech(t)cdot sin(s),Rcdot sech(t)cdot cos(s)]}$

${displaystyle P_{t} = [Rcdot tanh^{2}(t),-Rcdot sech(t)cdot tanh(t)cdot cos(s),-Rcdot sech(t)cdot tanh(t)cdot sin(s )]}$

Mit diesen letzten beiden:

${displaystyle P_{s} imes P_{t} = [R^{2}cdot sech^{2}(t)cdot tanh(t),R^{2}cdot sech(t)cdot tanh^{2}( t)cdot cos(s),R^{2}cdot sech(t)cdot tanh^{2}(t)cdot sin(s)]}$

Die Länge eines Vektors ist die Quadratwurzel von Skalarprodukt mit sich selbst:

${displaystyle |P_{s} imes P_{t}| = R^{2}cdot sech(t)cdot tanh(t)}$

so dass:

${displaystyle N = [sech(t),tanh(t)cdot cos(s),tanh(t)cdot sin(s)]}$

mit abgeleiteten Vektoren:

${displaystyle N_{s} = [0,-tanh(t)cdot sin(s),tanh(t)cdot cos(s)]}$

${displaystyle N_{t} = [-sech(t)cdot tanh(t),sech^{2}(t)cdot cos(s),sech^{2}(t)cdot sin(s)]}$

Die letzten Schritte der Berechnung können erheblich vereinfacht werden. Die Gaußsche Krümmung der Pseudosphäre kann nicht vom Parameter abhängen ${Anzeigestil s}$ weil die Figur eine Kreissymmetrie hat und es genau der Parameter ist ${Anzeigestil s}$ was diese Symmetrie ausdrückt. Das heißt, wenn alle notwendigen Ableitungen berechnet sind, kann man einen beliebigen Wert von wählen ${Anzeigestil s}$ auswählen und ausfüllen können. Der offensichtlichste Wert ist ${Anzeigestil s=0}$ so dass ${Anzeigestil cos(s)}$ und ${Anzeigesünde(n)}$ kann durch 1 bzw. 0 ersetzt werden:

${displaystyle P_{s} imes P_{t} = [R^{2}cdot sech^{2}(t)cdot tanh(t),R^{2}cdot sech(t)cdot tanh^{2}( t),0]}$

${Anzeigestil N_{s} = [0,0,tanh(t)]}$

${displaystyle N_{t} = [-sech(t)cdot tanh(t),sech^{2}(t),0)]}$

und:

${displaystyle N_{s} imes N_{t} = [-sech^{2}(t)cdot tanh(t),-sech(t)cdot tanh^{2}(t),0]}$

Indem man dies in den Ausdruck für die Gaußsche Krümmung einsetzt ${displaystyle kappa}$ Man erhält:

${displaystyle kappa = {frac {-R^{2}cdot sech^{2}(t)cdot tanh^{2}(t)}{R^{4}cdot sech^{2}(t)cdot tanh^ {2}(t)}} = {frac {-1}{R^{2}}}}$

Siehe auch

• Horn von Gabriel: eine Fläche mit fast identischer Form, die ebenfalls ein endliches Volumen, aber eine unendliche Fläche hat.

Referenz

• Formeln zur Berechnung der Gaußschen Krümmung: https://u.math.biu.ac.il/~katzmik/goldman05.pdf