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Das reihe von lucas ist eine Variante von Fibonaccia-Folge, mit gleicher Rekursion, aber mit unterschiedlichen Startwerten. Für die Fibonacci-Folge sind die Startwerte 0 und 1. Für die Lucas-Folge (l_nein) gilt:

${displaystyle L_{1}=1}$

${Displaystil L_{2}=3}$

und für nein > 2:

${Anzeigestil L_{n}=L_{n-1} L_{n-2}}$

Daraus ergibt sich die Reihenfolge:^[1]

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...

Die Reihe ist benannt nach Francois douard Anatole Lucas (1842-1891).

Die Zeile wird auch oft mit den Startwerten definiert l₀ = 2 und l₁ = 1.

Eigenschaften

• Die Summe zweier Fibonacci-Zahlen f_nein−1 und f_{nein 1} deren Indizes sich um 2 unterscheiden, die also nicht aufeinander folgen, sondern eine Zahl übersprungen wird, ist eine Lucas-Zahl.

${Anzeigestil L_{n}=F_{n-1} F_{n 1}}$.

• Es Quotient von zwei Fibonacci-Zahlen f_2nein und f_nein deren Indizes sich um den Faktor 2 unterscheiden, ist eine Lucas-Zahl.

${displaystyle L_{n}={frac {F_{2n}}{F_{n}}}}$.

• Genau wie in der Fibonacci-Folge nähert sich auch dies ${Anzeigestil L_{n}/L_{n-1}}$ zum Goldener Schnitt als n zu unendlich geht.
• Mit φ gilt der Goldene Schnitt:

${displaystyle L_{n}=phi^{n} (1-phi)^{n}}$.

• Wenn n a Primzahl ist dann ${displaystyle L_{n}äquivalent 1{pmod {n}}}$. Es gibt auch Verbindung Begriffe in der Zeile mit dieser Eigenschaft.
• Das Erzeugungsfunktion der Lukasreihe ist:${displaystyle sum _{n=0}^{infty }L_{n}x^{n}={frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$