WikiDer > Russell-Paradoxon

Russellparadox

Das Russell-Paradoxon, ebenfalls Russells Antinomie genannt, ist ein Paradox in dem naive Mengenlehre Über Kollektionen von denen die Elemente sind selbst Sammlungen. Das Paradoxon zeigte, dass bestimmte Versuche, Mengenlehre, wie der von George Cantor formuliert wurde, zu formalisieren, zu einem Widerspruch zu führen. Das Paradox schockierte die Welt der Grundlagen der Mathematik.

Das Paradox wurde 1901 von . entdeckt Bertrand Russell, und unabhängig von ihm ein Jahr zuvor, aber nicht veröffentlicht, von Ernst Zermelo.^[1]

Das Paradox

Nach der intuitiven Mengenlehre ist jede definierbare Sammlung eine Menge. Russell betrachtete Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind. Er unterschied Sammlungen, die sich selbst enthalten, und Sammlungen, die sich selbst nicht enthalten.

Ein Beispiel für eine Menge, die sich selbst nicht enthält, ist die Menge ${displaystyle BV}$ , bestehend aus Blumenkollektionen:

{displaystyle BV}

= {Tulpensammlung, Hyazinthensammlung, Rosensammlung, Narzissensammlung, ...}.

Jedes Element von ${displaystyle BV}$ ist selbst eine Sammlung. Es ist klar, dass ${displaystyle BVotin BV}$ .

Mit anderen Worten: ${displaystyle BV}$ ist selbst kein Element von ${displaystyle BV}$ . Schließlich ist eine Sammlung, die aus Blumensammlungen besteht, noch keine Blumensammlung.

Es gibt also Sammlungen, die sich selbst nicht enthalten. Russell definierte die Menge ${Anzeigestil R}$ (Russell-Kollektion) aller dieser Sätze:

{displaystyle R={Vmid Votin V}}

Die Sammlung ${Anzeigestil R}$ ist nicht die leere Menge, denn die obige Menge ${displaystyle BV}$ enthält sich selbst nicht und ist somit ein Element von ${Anzeigestil R}$ .

Russell stellte nun die Frage: "enthält ${Anzeigestil R}$ selbst?", trifft das also zu? ${Anzeigestil Rin R}$ ?

Angenommen, die Antwort lautet „ja“. In diesem Fall ${Anzeigestil R}$ erfüllen die Eigenschaften, die alle Elemente von ${Anzeigestil R}$ besitzen und so gilt das ${Displaystil Rotin R}$ . Also ein Widerspruch.

Die Antwort lautet also nicht 'ja', sondern 'nein': ${Anzeigestil R}$ kann sich nicht selbst enthalten: ${Displaystil Rotin R}$ . Aber dann reicht es ${Anzeigestil R}$ auf die Eigenschaft, die für die Elemente von gilt ${Anzeigestil R}$ , so ist ${Anzeigestil Rin R}$ . Auch ein Widerspruch.

Anscheinend

{displaystyle Rin Rlongleftrightarrow Rotin R}

,

also beides ist nicht möglich ${Anzeigestil Rin R}$ und ${Displaystil Rotin R}$ Recht.

Für die Russell-Menge ist es sowohl unmöglich, dass ein gegebenes Objekt existiert Gut ist drin wenn es da ist nicht Sitzung. Dies ist Russells Paradoxon.

Formale Präsentation

Definiere die Mengenlehre VT als die Theorie von Prädikatslogik mit einem binären Prädikat ${Anzeigestil in }$ und das Axiom:

{Anzeigestil existiert für alle x(xin yiff P(x))}

für jede Formel p mit einer Zufallsvariablen.

Ersatz ${displaystyle xotin x}$ vor dem ${Anzeigestil P(x)}$ . Dann gibt es einen ${displaystyle y}$ wofür:

{displaystyle yin yiff yotin y}

VT ist also inkonsistent.

Verbindung mit Cantor

Russells Paradoxon ist stark mit der Kantordiagonalbeweis. Dies zeigt, dass die Menge aller Teilmengen einer Sammlung enthält ein Element, das kein Element der ursprünglichen Sammlung ist. Alle Teilmengen der Menge aller Mengen ist die Menge aller Mengenmengen. Dies ist aber selbst eine Teilmenge der Menge aller Mengen, was paradox ist.

Wendet man Cantors Beweis an, um zu beweisen, dass diese Menge dennoch größer ist, so ist die Russell-Menge die Menge, die nicht in der Menge aller Mengen enthalten ist.

Die Schwierigkeit, die sich aus dem Begriff der 'Menge aller Mengen' ergibt, kann man vermeiden, indem man unterscheidet zwischen Klassen und Sammlungen. Insbesondere wird eine Klasse als Menge bezeichnet, wenn sie selbst ein Element einer anderen Klasse sein kann. Auf diese Weise ist die 'Menge aller Sammlungen' eine Klasse und keine Sammlung.

Lösung des Paradoxons

Russells Paradoxon zeigte, dass mit der Mengenlehre wie es um 1900 bekannt war. Um Russells Paradox zu lösen, wurden die Axiome geändert. Insbesondere folgendes Axiom, die bisher angenommen worden war, abgelehnt:

Für jede Immobilie ein besteht aus der Menge aller Dinge mit Eigenschaft ein

Stattdessen kamen Regeln wie:

Für jede Sammlung V ist die Menge aller Teilmengen von V
Für jede Sammlung V und jede Eigenschaft ein besteht aus der Menge aller Elemente in V mit Eigentum ein

Diese Regeln sind nun so eingerichtet, dass alle Sets, die in der Mathematiker Praxis werden durch die Axiome definiert, aber paradoxe Mengen wie die Sammlung aller Kollektionen und nicht das Russell-Set.

Man unterscheidet nun Prädikatenlogiken verschiedener Ordnungen:

innerhalb der Prädikatenlogik erster Ordnung können nur Konstanten und Variablen prädiziert werden,
innerhalb der Prädikatenlogik zweiter Ordnung ist es auch möglich, Prädikate erster Ordnung zu prädizieren,
im Allgemeinen kann in nein- De-Order-Prädikatenlogik über Prädikate der Ordnung höchstens nein-1 werden vorhergesagt.

Das Russell-Paradoxon wird auch durch das Axiom der Regularität (eines der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre), die im Kontext einer Theorie, in der jedes Element einer Menge selbst eine Menge ist, besagt, dass eine nichtleere Menge ein Element hat, das zusammenhangslos ist mit der Sammlung. Auf eine Sammlung angewendet {V} daraus folgt, dass keine Menge ein Element von sich selbst ist, also die Menge aller Mengen (die auch die Menge aller Mengen wäre, die sich selbst nicht enthalten) nicht existiert. Das macht auch die Paradox verhindere den Stromsammlung der Menge aller Mengen sollte unbedingt größer sein als die Menge aller Mengen.

Varianten dieses Paradoxons

Varianten des Russellschen Paradoxons, die angeblich in einem anderen Bereich liegen, aber im Wesentlichen auf dasselbe Paradox hinauslaufen, sind:

Siehe auch

Verweise

↑Siehe: Brief Hilberts vom 7. November 1903, in: Gottlob Frege: Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, Hrsg. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, p. 23f/47

[1] Siehe: Brief Hilberts vom 7. November 1903, in: Gottlob Frege: Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, Hrsg. G. Gabriel, F. Kambartel, C. Thiel, Hamburg 1980, p. 23f/47

[1]

Navigation