WikiDer > Sinc-Funktion

Das Sinc-Funktion, oder vollständig mit dem lateinischen Namen Kardinalhöhle, notiert als denn, ist Mathematiker Funktion dass es Quotient ist von der Sinus Und sein Streit.

Auch die sinc-Funktion ist die Fourier transformiert eines Rechtecksignals und umgekehrt. Die Funktion ist nicht nur in der Mathematik wichtig, sondern auch bei der Bestimmung einiger Grenzen, spielt aber auch eine wichtige Rolle in der Elektronik, insbesondere im analogen und digitalen Signalverarbeitung.

Die sinc-Funktion wurde 1952 von . eingeführt Phillip M. Woodward in seinem Artikel "Informationstheorie und inverse Wahrscheinlichkeit in der Telekommunikation" und stellt fest, dass die Funktion in der Fourier-Analyse so häufig vorkommt, dass sie einen eigenen Namen verdient.

Definition

Die normierte sinc (blau) und die mathematische sinc-Funktion (rot) auf der gleichen Skala von X = -6π bis 6π.

Obwohl es in der Literatur keine Unklarheiten über die Definition der sinc-Funktion gibt, ist die übliche Definition die Funktion für ${displaystyle xin mathbb {R} }$ wird gegeben von:

${displaystyle operatorname {sinc} (x)={ egin{cases}{dfrac {sin(x)}{x}},&quad xeq 0//quad 1,&quad x=0end{cases}}}$

Diese Funktion ist symmetrisch zur y-Achse. Wegen des vorgeschriebenen Wertes in 0 ist es überall kontinuierlich und differenzierbar. Die Funktion ist Null in allen Nullvielfachen von verschillende ${Anzeigestil pi}$.

Es gibt auch ein normalisiert Form der sinc-Funktion:

${displaystyle operatorname {sinc} (x)={ egin{cases}{dfrac {sin(pi x)}{pi x}},&quad xeq 0//quad 1,&quad x=0end{cases}}}$

Die normalisierte Form ist null in den ganzen Zahlen außer null.

Eigenschaften

Die normierte Form der sinc-Funktion findet man mit der Gamma-Funktion als das Produkt ausdrücken:

${displaystyle {frac {sin(pi x)}{pi x}}=prod _{n=1}^{infty}left(1-{frac {x^{2}}{n^{2}}}ight )={frac {1}{Gamma (1x)Gamma (1-x)}}}$

Das taylor serie lässt sich direkt aus der Taylorreihe für den Sinus ableiten:

${displaystyle {frac {sin(x)}{x}}=Summe _{n=0}^{infty}(-1)^{n}{frac {x^{2n}}{(2n 1)!} }=1-{frac {x^{2}}{6}} {frac {x^{4}}{120}}mp ldots }$

Als Grenze verwenden

Die sinc-Funktion ist im Punkt 0 stetig, weil der Grenzwert für ${Anzeigestil x}$ auf null ist gleich 1:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin(x)}{x}}=1}$

Außerdem gilt:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{sin(x)}}=1}$

Und damit auch:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac { an(x)}{x}}=1}$

und

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{ an(x)}}=1}$

Dies sind vier Grenzwerte, die die trigonometrischen Funktionen Sinus und Tangens enthalten, aber ähnliche Grenzwerte gelten auch für die entsprechenden zyklometrischen Funktionen:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {arcsin(x)}{x}}=1}$

Außerdem gilt:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{arcsin(x)}}=1}$

Und damit auch:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {arctan(x)}{x}}=1}$

und

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{arctan(x)}}=1}$

Darüber hinaus gelten sie auch für die hyperbolischen Funktionen sinh und tanh:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sinh(x)}{x}}=1}$

Außerdem gilt:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{sinh(x)}}=1}$

Und damit auch:

${displaystyle lim _{x o 0}{frac { anh(x)}{x}}=1}$

und

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {x}{ anh(x)}}=1}$

Interpolation mit sinc-Funktionen

Wenn in a ${Displaystil N}$-zahlreiche äquidistante Punkte ${displaystyle(x_{k})}$ mit gegenseitigem Abstand ${displaystyle d}$ die Funktionswerte ${Anzeigestil (f(x_{k}))}$ gegeben, kann eine Interpolationsfunktion geschrieben werden als:

${displaystyle g(x)=sum _{k=1}^{mathbb {N} }f(x_{k}),operatorname {sinc} left({frac {pi (x-x_{k})}{d }}Nacht)}$

Für alle :${displaystyle m=1,ldots,N}$ gilt:

${Anzeigestil g(x_{m})=f(x_{m})}$,

schon seit

${displaystyle operatorname {sinc} left({frac {pi (x_{m}-x_{k})}{d}}ight)=operatorname {sinc} ((mk)pi )={ egin{cases}1,&m =k/0,&meq kend{cases}}}$

Diese Art der Interpolation wird z. B. bei DA-Konvertierung von Tonsignalen.

Bedeutung in der Signalverarbeitung

Die Fourier-Transformation einer skalierten sinc-Funktion ${displaystyle mathrm {sinc} (pi t/T)}$ entspricht:

${displaystyle int _{-infty}^{infty}mathrm {sinc} (pi t/T),e^{-jomega t},{m {d}}t=T}$

im Intervall

${Anzeigestil [-pi /T,pi /T]}$

und darüber hinaus null.

Umgekehrt ist die Fourier-Transformation eines Rechtecksignals in der Zeit, a sinc in Funktion der Frequenz Faltung eines Signals mit einem sinc, der dem Produkt ihrer jeweiligen Fourier-Transformationen entspricht. Weil die Fourier-Transformation Wenn jedoch ein sinc rechtwinklig ist und daher oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz null ist, bedeutet dies, dass die Faltung mit einem sinc dazu führt, dass Frequenzen oberhalb dieser Grenzfrequenz aus dem Originalsignal entfernt werden.

Die sinc-Funktion liegt daher dem Design von Bandselektive Filter. Dies sind Filter, die bestimmte Frequenzbänder durchlassen und andere Bänder unterdrücken. Man unterscheidet in diesem Zusammenhang Tiefpassfilter, Hochpassfilter, Bandpass-Installateure und Bandsperrenfilter.