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Emmy Noether

Das Theorem von Noether (oft auch Theorem von Noether erwähnt) ist ein wichtiges Ergebnis der theoretische Physik und der infinitesimalrechnung zeigen, dass ein Datum Denkmalschutz kann abgeleitet werden von Unterscheidung auf bestehende anwenden Symmetrie im physikalische Systeme. Das Energieerhaltungssatz ergibt sich beispielsweise daraus, dass alle physikalischen Gesetze, einschließlich der Werte von de physikalische Konstanten, sei invariant für a Übersetzung entlang der Zeitachse; sie ändern sich im Laufe der Zeit nicht.

Der Satz impliziert also, dass jeder differenzierbarSymmetrie des Aktion von a physikalisches System hat ein entsprechendes Erhaltungssatz. Dieser bahnbrechende Satz wurde 1915 von der DeutscheMathematikerEmmy Noether nachgewiesen und 1918 veröffentlicht.^[1] Die Wirkung eines physikalischen Systems ist die Integral- über die Zeit von a lagrangeFunktion (die ein Integral über den Raum einer Lagrange-Dichtefunktion sein kann oder nicht), mit der das Verhalten des Systems unter Verwendung der using Prinzip der kleinsten Wirkung.

Der Satz von Noether ist ein grundlegendes Werkzeug der modernen theoretische Physik und der Variationskonto werden. Der Satz von Noether erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung früherer Arbeiten zu Bewegungskonstanten in dem lagrange- und der Hamiltonsche Mechanik. Der Satz von Noether gilt nicht für Systeme, die nicht mit einem Lagrange-Operator modelliert werden können; ableitfähig Systeme mit stetigen Symmetrien brauchen beispielsweise keinen entsprechenden Erhaltungssatz.

Der Satz von Noether gilt für alle physikalische Gesetze die mit Veränderungen umgehen. Der Satz spielt eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik Bei der Heisenbergsche Unschärferelation, beim Koppeln Position und Impuls, Zeit und Energie, Ecke und Drehimpuls, usw.

Informelle Erläuterung der Aussage

Abgesehen von allen verfeinerten technischen Punkten kann der Satz von Noether wie folgt informell postuliert werden

Hat ein System eine stetige Symmetrieeigenschaft, dann gibt es entsprechende Größen, deren Werte über die Zeit erhalten bleiben.^[2]

Eine fortgeschrittene Version des Theorems lautet:

Mit jedem differenzierbaren Symmetrie, bereitgestellt von local by Aktionen erzeugt wird, entspricht a Gebühr behalten.

Genauer gesagt bezieht sich das Wort "Symmetrie" in der obigen Aussage auf die Kovarianz der Form, die ein physikalisches Gesetz bezüglich eines eindimensionalen Lügengruppe von Transformationen, die bestimmte technische Kriterien erfüllen. Der Erhaltungssatz von a körperliche Größe wird normalerweise als a . ausgedrückt Kontinuitätsgleichung.

Der formale Beweis des Theorems verwendet nur die Invarianzbedingung, um einen Ausdruck für einen Strom abzuleiten, der einer erhaltenen physikalischen Größe zugeordnet ist. Die Erhaltungsgröße wird zu Noether-Last und der Strom, der diese 'Ladung' trägt, wird als bezeichnet kein Strom. Die Noetherladung ist auf a . eindeutig definiert Divergenzfreies Vektorfeld nach dem.

Anwendung

Die Anwendung des Noetherschen Theorems ermöglicht es Physikern, in jeder allgemeinen Theorie zu verstehen, welche Form ein Gesetz haben muss, um invariant und konstant zu sein. Beispielsweise:

• die Invarianz physikalischer Gesetze für a Übersetzung im Raum (der Satz, dass die Gesetze der Physik überall gleich sein sollten) ergibt einen Erhaltungssatz von Impuls auf.
• Invarianz für Drehung gibt dem Drehimpulserhaltungssatz.
• Invarianz in Bezug auf die Zeit gibt den berühmten Energieerhaltungssatz

Historischer Zusammenhang

sehen Bewegungskonstante und Denkmalschutz für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Ein Erhaltungssatz besagt, dass eine bestimmte Menge ${Anzeigestil X}$, Das hier physikalisches System beschreibt, bleibt während seiner gesamten Bewegung konstant; Mathematisch ausgedrückt ist die Änderungsrate von ${Anzeigestil X}$ (das Derivat in Bezug auf die Zeit) gleich Null:

${displaystyle {frac {mathrm {d} X}{mathrm {d} t}}=0}$

Diese Mengen sollen erhalten bleiben; sie werden oft Bewegungskonstanten erwähnt, obwohl es keine Notwendig Bewegung muss einbezogen werden, aber auch die Entwicklung im Laufe der Zeit ist ausreichend. Wenn zum Beispiel die Energie eines physikalischen Systems erhalten bleibt, ist es Energie zu jeder Zeit konstant, was die Bewegung des Systems einschränkt, was wiederum zur Auflösung des Systems beitragen kann. Neben der Einsicht, die diese Bewegungskonstanten in die Natur eines physikalischen Systems liefern, sind sie ein nützliches Werkzeug zur Unterstützung von Berechnungen; Beispielsweise kann eine Annäherung an eine Lösung korrigiert werden, indem der nächste Zustand gefunden wird, der die Erhaltungssätze erfüllt.

Die ersten entdeckten Bewegungskonstanten sind Impuls und Energie, die im 17. Jahrhundert von René Descartes und Gottfried Leibniz wurden vorgeschlagen basierend auf Absturz Experimente und wurden von späteren Forschern verfeinert. Isaac Newton war der erste, der den Impulserhaltungssatz in seiner modernen Form verkündete und zeigte, dass der Impulserhaltungssatz eine Folge von Newtons drittes Gesetz; Interessanterweise gilt der Impulserhaltungssatz auch in Situationen, in denen das dritte Newtonsche Gesetz nicht gilt. Die moderne Physik hat gezeigt, dass die Erhaltungssätze von Impuls und Energie nur annähernd wahr sind, aber ihre modernen Verfeinerungen - die Erhaltung von conservation Vierpuls in dem spezielle Relativitätstheorie und die Null Abweichungen des Energie-Impuls-Tensor in dem generelle Relativität - sind streng genommen innerhalb der Grenzen dieser Theorien wahr. Bewahren Drehimpuls, eine Verallgemeinerung rotierender starrer Körper, gilt in ähnlicher Weise in der modernen Physik. Eine weitere wichtige zu bewahrende Variable, die bei der Untersuchung der Himmelsmechanik der astronomischen Körper war die Laplace-Runge-Lenz-Vektor.

Im späten 18. und frühen 19. Jahrhundert entwickelten Physiker systematischere Methoden zur Entdeckung von Erhaltungsgrößen. Ein wichtiger Schritt kam 1788 mit der Entwicklung des Prinzip der kleinsten Wirkung verbunden Lagrangesche Mechanik. Bei diesem Ansatz kann der Zustand des Systems durch eine Art von verallgemeinerte Koordinaten${displaystyle mathbf {q} }$; die Bewegungsgesetze müssen nicht in a . ausgedrückt werden Kartesisches Koordinatensystem, wie es in der Newtonschen Mechanik üblich war. Das Aktion ist definiert als das Zeitintegral ich einer Funktion, die als bekannt ist Lagrangel

${displaystyle I=int L(mathbf {q} ,{dot {mathbf {q}}},t)mathrm {d} t}$

wo der Punkt über dem ${displaystyle mathbf {q} }$ der Grad der Änderung der Koordinaten ${displaystyle mathbf {q} }$ meint

${displaystyle {dot {mathbf {q}}}={frac {mathrm {d} mathbf {q} }{mathrm {d} t}}.}$

Es Hamilton-Prinzip besagt, dass der physische Pfad ${displaystyle mathbf {q} (t)}$; der Pfad, den das System tatsächlich nimmt - ist ein Pfad, bei dem infinitesimale Variationen in diesem Pfad keine Änderung in bewirken ich, zumindest in erster Ordnung. Dieses Prinzip führt zu dem Euler-Lagrange-Gleichungen

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial L}{partial {dot {mathbf {q} }}}}ight)={frac {partial L}{partial mathbf {q} }}.}$

Also wenn eine der Koordinaten, sagen wir ${displaystyle mathbf {q}_{k}}$, kommt im Lagrange-Operator nicht vor, die rechte Seite der Gleichung ist gleich Null und die linke Seite zeigt, dass

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{k}}}ight)={frac {mathrm {d} p_{k}}{mathrm {d} t}}=0}$

wo der konservierte Impuls ${displaystyle p_{k}}$ wenn die Menge links in Klammern angegeben ist. Das Fehlen der Koordinate ${displaystyle mathbf {q}_{k}}$ im Lagrange-Operator impliziert, dass der Lagrange-Operator nicht durch Änderungen oder Transformationen von . beeinflusst wird ${displaystyle mathbf {q}_{k}}$; die Lagrange-Funktion ist invariant und die Lagrange-Funktion soll eine Art von sein Symmetrie zeigt an. Dies ist die Grundidee, aus der der Satz von Noether hervorgegangen ist.

Im 19. Jahrhundert wurden mehrere alternative Methoden zum Auffinden von Erhaltungsgrößen entwickelt, hauptsächlich von William Rowan Hamilton. Zum Beispiel entwickelte er eine Theorie der kanonische Transformationen, die es den Forschern ermöglichte, die Koordinaten so zu ändern, dass diese Koordinaten aus dem Lagrange-Operator verschwanden, was zu Erhaltungsgrößen führte. Ein anderer Ansatz und vielleicht der effizienteste Weg, um die Erhaltungsgrößen zu finden, ist der Hamilton-Jacobi-Gleichung.

mathematischer Ausdruck

Die Essenz des Noetherschen Theorems ist folgendes: Stellen Sie sich vor, dass die Aktion ${Anzeigestil I}$, wie oben definiert, ist invariant unter kleinen Störungen (Störungen) der variablen Zeit ${displaystyle t}$ und der verallgemeinerte Koordinaten${displaystyle mathbf {q} }$; wir schreiben (in einer von Physikern gebräuchlichen Schreibweise)

${Anzeigestil t o t^{prime }=t Delta t}$

${displaystyle mathbf {q} ightarrow mathbf {q} ^{prime }=mathbf {q} Delta mathbf {q} }$

wo die Störungen ${Anzeigestil Delta t}$ und ${displaystyle delta mathbf {q} }$ klein und variabel sein. Nehmen wir im Allgemeinen an, dass es mehrere solcher meerdere . geben kann Symmetrie Transformationen der Aktion sind, sagen wir, ${Displaystil N}$; Wir können einen Index verwenden ${Anzeigestil r=1,2,3,ldots,N}$ um mit den Veränderungen Schritt zu halten. Dann kann eine generische Störung als lineare Summe der einzelnen Störungsarten geschrieben werden

${Anzeigestil Delta t=Summe _{r}varepsilon _{r}T_{r}}$

${displaystyle delta mathbf {q} = Summe _{r}varepsilon _{r}mathbf {Q} _{r}}$

Unter Verwendung dieser Definitionen zeigte Emmy Noether dazu die Nein Größen

${displaystyle left({frac {partial L}{partial {dot {mathbf {q}}}}cdot {dot {mathbf {q} }}-Light)T_{r}-{frac {partial L}{partial { Punkt {mathbf {q} }}}}cdot mathbf {Q} _{r}}$

gerettet werden, das heißt Bewegungskonstanten sind;, dies ist eine einfache Version von Noethers Theorem

Beispiele

Betrachten Sie zur Veranschaulichung a Lagrange, die nicht von der Zeit abhängt, d. h. sie ist invariant (symmetrisch) unter Änderungen ${Anzeigestil t o t Delta t}$, ohne Änderung der Koordinaten ${displaystyle mathbf {q} }$. In diesem Fall, ${Anzeigestil N=1,,T=1}$ und ${displaystyle mathbf {Q} =0}$; die entsprechende Erhaltungsgröße ist die Summe Energie${Anzeigestil H}$^[3]

${displaystyle H={frac {partial L}{partial {dot {mathbf {q}}}}}cdot {dot {mathbf {q}}}-L.}$

Mathematischer Ausdruck in der Feldtheorie

Angenommen, unter der Transformation ${Anzeigestil phi(x)o phi(x)varepsilon Delta phi(x)}$, mit ${Anzeigestil Varepsilon }$ eine Konstante, die Lagrange-Invariante auf der totalen Ableitung na

${displaystyle {mathcal {L}} oder {mathcal {L}} varepsilon partiell _{mu}K^{mu}}$

Wenn Sie den Fluss definieren als

${displaystyle j^{mu}={frac {partial {mathcal {L}}}{partial partiell _{mu}phi}}Delta phi -K^{mu}}$,

gilt ${displaystyle partiell _{mu}j^{mu}=0}$ wenn ${Anzeigestil phi}$ erfüllt die Bewegungsgleichungen.

Fußnoten