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Telescoopsom

In dem Mathematik ist ein Teleskopsumme ein Teilsumme von a Warteschlange Zahlen, deren Terme so in zwei Teile zerlegt sind, dass von aufeinanderfolgenden Termen einer der Teile gegen einen Teil des vorherigen Termes und der verbleibende Teil gegen einen Teil des folgenden Termes wieder aufhebt. Die ganze Summe schiebt sich wie ein Fernrohr zusammen, danach bleibt nur noch ein Teil des ersten und ein Teil des letzten Termes übrig.^[1]^[2] Die Division bedeutet, dass die Terme aus den aufeinanderfolgenden Differenzen zweier aufeinanderfolgender Terme einer unterschiedlichen Zahlenfolge bestehen.

Die Technik, die verwendet wird, um einen Teil eines Begriffs gegen einen Teil des nächsten Begriffs aufzuheben, heißt Methode der Unterschiede oder Teleskopverfahren erwähnt.^[3]

Beispiel

Gegeben ist die Zahlenfolge ${displaystyle left({ frac {1}{2}},{ frac {1}{6}},{ frac {1}{12}},{ frac {1}{20}},ldots ight)}$ , mit dem allgemeinen Begriff:

{displaystyle a_{k}={ frac {1}{k(k 1)}}quad (k=1,2,3,ldots)}

Dieser Begriff kann unterteilt werden in:

{displaystyle a_{k}={ frac {1}{k(k 1)}}={ frac {1}{k}}-{ frac {1}{k 1}}}

Die Reihe ${displaystyle (s_{n})}$ der Teilsummen von ${displaystyle(a_{k})}$ ist dann:

{displaystyle { egin{array}{l}s_{1}=a_{1}=1-{ frac {1}{2}}/s_{2}=a_{1} a_{2}=(1-{ frac {1}{2}}) ({ frac {1}{2}}-{ frac {1}{3}})=1-{ frac {1}{3}}/s_{3}=a_{ 1} a_{2} a_{3}=(1-{ frac {1}{2}}) ({ frac {1}{2}}-{ frac {1}{3}}) ({ frac {1 }{3}}-{ frac {1}{4}})=(1-{ frac {1}{3}}) ({ frac {1}{3}}-{ frac {1}{4}} )=1-{ frac {1}{4}}/s_{4}=(1-{ frac {1}{4}}) ({ frac {1}{4}}-{ frac {1}{5 }})=1-{ frac {1}{5}}/vdots /s_{k-1}=(1-{ frac {1}{k-1}}) ({ frac {1}{k-1 }}-{ frac {1}{k}})=1-{ frac {1}{k}}/s_{k}=(1-{ frac {1}{k}}) ({ frac {1} {k}}-{ frac {1}{k 1}})=1-{ frac {1}{k 1}}/end{array}}}

Es kommt also immer darauf an, dass bei richtiger Aufteilung der Terme nur der erste Teil des ersten Termes und der letzte Teil des letzten Termes einer solchen Teilsumme übrig bleiben.^[4]

Definition

Ist ${displaystyle (t_{k})_{kin mathbb {N} _{0}}}$ eine Zahlenfolge, heißt dann ${displaystyle s_{n}}$ mit

{Displaystil s_{n}=Summe _{k=0}^{n-1}(t_{k 1}-t_{k})}

ein Teleskopsumme.

Die Summen sind die Teilsummen der Reihe ${displaystyle (a_{k})_{kin mathbb {N} _{0}}}$ mit

{displaystyle a_{k}=t_{k 1}-t_{k}}

Ausarbeitung gibt:

{displaystyle s_{n}=(t_{1}-t_{0}) (t_{2}-t_{1}) ldots (t_{n-1}-t_{n-2}) (t_{n} -t_{n-1})=t_{n}-t_{0}}

Das ist auch leicht zu erkennen:

{displaystyle s_{n}=Summe _{k=0}^{n-1}(t_{k 1}-t_{k})=Summe _{k=0}^{n-1}t_{k 1 }-Summe _{k=0}^{n-1}t_{k}=Summe _{k=1}^{n-1}t_{k} t_{n}-Summe _{k=1}^ {n-1}t_{k}-t_{0}=t_{n}-t_{0}}

Konvergenz

Letzteres zeigt, dass die Zeile de ${displaystyle(s_{k})}$ dann und nur dann konvergent ist, wenn die Zeile ${Anzeigestil (t_{k})}$ ist konvergent. Oder auch:

{displaystyle {underset {no infty }{mathop {lim } }},{{s}_{n}}=sum olimits _{k=0}^{infty }{({{t}_{k 1}} -{{t}_{k}})=L-{{t}_{0}} Leftrightarrow {underset {no infty }{mathop {lim} }},{{t}_{n}}=L} }

Anwendung

Die eigentliche Anwendung der Teleskopsumme besteht darin, die richtige Division zu finden, die aus den Teilsummen Teleskopsummen macht.

Andere Beispiele

geometrische Reihe

Für die geometrische Folge ${Anzeigestil (1,x,x^{2},ldots ,x^{k},ldots)}$ gilt für ganzzahlige Werte von ${displaystyle ngeq 1}$ :

{displaystyle { egin{aligned}(1-x)Sum olimits _{k=1}^{n}{{x}^{k}}&=(1-x)(1 x {{x}^{2 }} ldots {{x}^{n}})=/{}&=(1-x) (xx^{2}) (x^{2}-x^{3}) ldots (x^{n }-x^{n 1})=/{}&=1-x^{n 1}/end{ausgerichtet}}}

Dabei handelt es sich auch um eine Teleskopsumme.

Eine Summe von Fakultäten

Bei Verwendung des faktorielle Funktion:

{Displaystyle-Summe _{k=1}^{n}k!cdot k=(n 1)!-1}

Immerhin mit Austausch des Faktors ${displaystyle k}$ durch ${Anzeigestil (k 1)-1}$ ist:

{displaystyle { egin{aligned}sum _{k=1}^{n}k!cdot k&=sum _{k=1}^{n}k!cdot ((k 1)-1)=sum _{k =1}^{n}((k 1)!-k!)=/&=(2!-1!) (3!-2!) ldots (n!-(n-1)!) ((n 1)!-n!)=/&=-1! (n 1)!/end{ausgerichtet}}}

Eine Summe von Nebenhöhlen

Nach einem trigonometrisch Identität, nämlich einer der Simsons Formeln, ist:

{Anzeigestil 2cdot sin(p)cdot sin(q)=cos(q-p)-cos(qp)}

Verwenden Sie das und nehmen Sie die Identität an:

{displaystyle sin(k)=2sin({ frac {1}{2}})cdot sin(k)cdot {frac {1}{2sin({ frac {1}{2}})}}}

fällt aus mit ${displaystyle a={frac {1}{2sin({ frac {1}{2}})}}}$ Welche:

{displaystyle { egin{aligned}sum _{k=1}^{n}sin(k)&=acdot sum _{k=1}^{n}2sin({ frac {1}{2}})cdot sin (k)=Akdotsumme _{k=1}^{n}(cos(k-{ frac {1}{2}})-cos(k { frac {1}{2}}))=/&= acdot left(cos({ frac {1}{2}})-cos(n { frac {1}{2}})ight)/end{aligned}}}

Also zum Beispiel:

{displaystyle sin(1) sin(2) sin(3)={frac {cos({ frac {1}{2}})-cos(3{ frac {1}{2}})}{2sin({ frac {1}{2}})}}}

(Un)endliches Produkt

Die gleiche Technik wie oben kann auf (un)endlich . angewendet werden Produkte von denen die allgemeine Faktor des Formulars ${displaystyle a_{k 1}/a_{k}}$ ist. Das Teleskopverfahren ergibt in diesem Fall:

{displaystyle P_{n}=prod_{k=0}^{n-1}{frac {a_{k 1}}{a_{k}}}=prod_{k=1}^{n}{frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={frac {a_{n}}{a_{0}}}}

Beispiel

Mit ${displaystyle 2cos(alpha)={frac {sin(2alpha)}{sin(alpha)}}}$ und Ersatz von ${displaystyle a_{k}=sünde(2^{k}alpha)}$ folgt aus obigem Ausdruck von ${displaystyle P_{n}}$ :

{displaystyle 2^{n}cdot prod_{k=0}^{n-1}cos(2^{k}alpha)=prod_{k=1}^{n}(2cos(2^{k} alpha))={frac {sin(2^{n}alpha)}{sin(alpha)}}}

Ergebnis: Mit ${Anzeigestil n=3}$ und ${displaystyle alpha =20^{circ }}$ ist dann:

{displaystyle 8cdot cos(20^{circ })cdot cos(40^{circ })cdot cos(80^{circ })={frac {sin(160^{circ })}{sin(20^{circ } )}}={frac {sin(180^{circ }-20^{circ })}{sin(20^{circ })}}={frac {sin(20^{circ })}{sin(20 ^{circ })}}=1}

Die Formel, die sich daraus ergibt:

{displaystyle cos(20^{circ })cdot cos(40^{circ })cdot cos(80^{circ })={frac {1}{8}}}

ist der Morries Formel.^[5]

Hinweis. Keiner der Werte auf der linken Seite dieser Identität ist rational; die rechte Seite ist jedoch.

Beispiel

Es folgt ein unendliches Produkt als Anwendung.

{displaystyle { egin{aligned}prod _{n=2}^{infty }left(1-{frac {1}{n^{2}}}ight)&={frac {3}{4}}cdot { frac {8}{9}}cdot {frac {15}{16}}cdot {frac {24}{25}}cdot ldots =prod_{n=2}^{infty }{frac {(n-1) (n 1)}{n^{2}}}/&=lim _{N o infty }left(prod _{n=2}^{N}{frac {n-1}{n}}cdot prod _ {n=2}^{N}{frac {n 1}{n}}ight)/&=lim _{N o infty }left(left{{{frac {1}{2}}cdot {frac {2 }{3}}cdot {frac {3}{4}}cdot ldots cdot {frac {N-2}{N-1}}cdot {frac {N-1}{N}}}ight}cdot links{{ {frac {3}{2}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {5}{4}}cdot ldots cdot {frac {N}{N-1}}cdot {frac {N 1} {N}}}ight}ight)/&=lim _{N o infty }left({frac {1}{N}}cdot {frac {N 1}{2}}ight)/&=lim _{N o infty }{frac {N 1}{2N}}={frac {1}{2}}end{ausgerichtet}}}

Externe Links

(und) Schneiden Sie den Knoten: Summen, Serien und Produkte teleskopieren
(und) Eric W. Weisstein: "Morries Gesetz". Durch MathWorld.

Nüsse

↑In einer Addition (Summe) gibt es zwei Terme ${displaystyle p}$ und ${displaystyle -p}$ gegeneinander weg. Bei einer Multiplikation fallen zwei Faktoren ${displaystyle p}$ und ${displaystyle 1/p}$ gegeneinander weg.
↑J. Hülshof, R. Meester (2015): Mathematik in deinen Fingern. Amsterdam: VU Universitätspresse; s. 84-92.
↑H. Hofstede: Die Methode der Unterschiede. Über die Webseite h.hofstede.nl
↑Herr Kindt (2004): Was ist zu beweisen (27). Im Neues Wiskrant, jr. 24, Nr. 2; s. 26-27.
↑Die Formel ist durch Richard Feynman benannt nach Morrie Jacobs, Feynmans Jugendfreund. Sehen:
(und) D. Zeilberger: Eine Verallgemeinerung einer Kuriosität, an die sich Feynman sein ganzes Leben lang erinnerte. Über die Website von Rutgers, The State University of New Jersey (SAS Homepage).

[1] In einer Addition (Summe) gibt es zwei Terme ${displaystyle p}$ und ${displaystyle -p}$ gegeneinander weg. Bei einer Multiplikation fallen zwei Faktoren ${displaystyle p}$ und ${displaystyle 1/p}$ gegeneinander weg.

[2] J. Hülshof, R. Meester (2015): Mathematik in deinen Fingern. Amsterdam: VU Universitätspresse; s. 84-92.

[3] H. Hofstede: Die Methode der Unterschiede. Über die Webseite h.hofstede.nl

[4] Herr Kindt (2004): Was ist zu beweisen (27). Im Neues Wiskrant, jr. 24, Nr. 2; s. 26-27.

[5] Die Formel ist durch Richard Feynman benannt nach Morrie Jacobs, Feynmans Jugendfreund. Sehen:
(und) D. Zeilberger: Eine Verallgemeinerung einer Kuriosität, an die sich Feynman sein ganzes Leben lang erinnerte. Über die Website von Rutgers, The State University of New Jersey (SAS Homepage).

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